《2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3.2 圆与圆的位置关系课件 北师大版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3.2 圆与圆的位置关系课件 北师大版必修2（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 圆与圆的位置关系,1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为相离、外切、相交、内切、内含. 2.圆与圆的位置关系的判断 (1)代数法:设两圆方程分别为,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:,(2)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:,【做一做1】 圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 解析:两圆圆心分别为O1(-2,0),O2(2,1),半径分别为r1=2,r2=3.,答案:B,【做一做2】 若圆x2+y2=9与圆(x-4)2+(y+3)2=
2、r有3条公切线,则实数r的值为( ) A.8 B.64 C.2 D.4 解析:两圆有3条公切线,即两圆外切,答案:D,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若两圆只有一个公共点,则这两圆外切. ( ) (2)若两圆无公共点,则两圆相离. ( ) (3)两个半径不相等的同心圆从两圆位置关系上来说为内含. ( ) (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1,且R),此圆系方程涵盖了过圆C1与圆C2的交点的
3、所有圆的方程. ( ),探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一判断两圆的位置关系 【例1】 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x=0. (1)当m=1时,圆C1与圆C2是什么关系? (2)若两圆有三条公切线,求实数m的值. (3)是否存在m使得圆C1与圆C2内含? 分析:(1)参数m的值已知,求解时可先找出圆心及半径,然后比较两圆的圆心距d与r1+r2,|r1-r2|的大小关系.(2)两圆有三条公切线即两圆相外切,由此建立关于m的等式求解.(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含,则圆心距d|r1-r2|.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:(1)m
4、=1,两圆的方程分别可化为C1:(x-1)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1.,又r1+r2=3+1=4,|r1-r2|=|3-1|=2, |r1-r2|dr1+r2. 圆C1与圆C2相交. (2)圆C1的方程为(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),半径r1=3,圆C2的方程为(x+1)2+y2=1, 圆心C2(-1,0),半径r2=1, 当两圆有三条公切线时,它们相外切,因此|C1C2|=r1+r2,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含,故不存在m使得圆C1与圆C2内含.,反思感悟判断两圆的位置关系,通常采用几何法,而不是用
5、两圆公共点的个数来判断,因为它们之间并不是一一对应关系,如两圆只有一个公共点时,两圆可能内切,也可能外切;两圆没有公共点时,它们可能相离,也可能内含,无法确定是哪一种位置关系.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1(1)若圆C1:x2+y2-2mx+m2=4与圆C2:x2+y2+2x=8外切,则m的值为( ) A.-6 B.4 C.-6或4 D.不存在 (2)若圆B:x2+y2+b=0与圆C:x2+y2-6x+8y=0没有公共点,则b的取值范围是 . 解析:(1)将两圆的方程整理得圆C1:(x-m)2+y2=4,圆C2:(x+1)2+y2=9,所以两圆的圆心坐标分别为(m,0),(-1
6、,0),半径分别为2,3.由已知得|m+1|=2+3,解得m=-6或m=4. (2)由已知圆C:(x-3)2+(y+4)2=25,圆B:x2+y2=-b, -b0,b0. 圆B的圆心恰在圆C上,要想两圆无公共点,答案:(1)C (2)b-100,探究一,探究二,探究三,易错辨析,【例2】 已知圆O:x2+y2=25和圆C:x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B两点. (1)求线段AB的垂直平分线的方程; (2)求AB所在直线的方程; (3)求公共弦AB的长度. 分析:(1)线段AB的垂直平分线即两圆圆心的连线;(2)两圆方程相减即得AB所在直线的方程;(3)利用几何法根据勾股定理求AB的
7、长.,探究二两圆的公共弦问题,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:(1)因为两圆相交于A,B两点,所以线段AB的垂直平分线就是两圆的圆心的连线. 又圆O:x2+y2=25的圆心O(0,0),圆C:(x-2)2+(y-1)2=25的圆心C(2,1), 所以kOC= ,由点斜式得y= x,即x-2y=0.故AB的垂直平分线的方程为x-2y=0. (2)将两圆方程相减即得公共弦AB所在直线的方程为4x+2y-5=0.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.两圆相交时,公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交
8、,则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,即两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程. 2.公共弦长的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解. 3.(1)当两圆内切时,两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切线方程;当两圆外切时,两圆方程相减所得直线方程为两圆的内公切线的方程. (2)当两圆相离时,两圆方程相减也能得一条直线方程,但这条直线方程不是两圆的公共弦所在的直线方程.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式
9、训练2已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A,B两点. (1)求公共弦AB所在直线的方程; (2)求圆心在直线y=-x上,且经过A,B两点的圆的方程.,-并整理得公共弦AB所在直线的方程为x-2y+4=0.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(2)由(1)得x=2y-4,将其代入x2+y2+2x+2y-8=0中并整理得y2-2y=0,圆心在直线y=-x上, 设圆心为M(x,-x). 则|MA|=|MB|,解得x=-3,即M(-3,3).,圆M的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究三与两圆相切有关
10、的问题,【例3】已知点F(0,1),一动圆过点F且与圆x2+(y+1)2=8内切,求动圆圆心的轨迹方程.,分析:解答本题的关键是通过内切建立等量关系,解题时应注意半径间的关系.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟涉及与圆相关的轨迹求法: (1)建立适当的坐标系; (2)利用圆与圆的位置关系建立等量关系; (3)对上述等量关系进行化简; (4)明确曲线形式,并验证范围的有效性.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练3若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为( ) A.y2-4x+4y+8=0
11、 B.y2+2x-2y+2=0 C.y2+4x-4y+8=0 D.y2-2x-y-1=0 解析:由圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y=x-1上.故可得a=2,即点C(-2,2),所以过点C(-2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x+2)2+(y-2)2=x2,整理得y2+4x-4y+8=0. 答案:C,探究一,探究二,探究三,易错辨析,忽略了两圆内切的情况而致误 【典例】 求半径为4,与圆A:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆C的方程. 错解由题意知所求的圆与直线y=0相切,且半
12、径为4, 设其圆心C的坐标为(a,4), 则其方程为(x-a)2+(y-4)2=42. 圆A的方程可整理为(x-2)2+(y-1)2=32, 所以其圆心为A(2,1),半径为3. 由两圆相切得|CA|=3+4=7,探究一,探究二,探究三,易错辨析,正解:由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为C. 因为圆C与直线y=0相切且半径为4, 所以圆心C的坐标为(a,4)或(a,-4). 依题可知圆A:x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3. 若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1. 当圆心C的坐标为C(a,4)时,当圆心C的坐标为(
13、a,-4)时,探究一,探究二,探究三,易错辨析,纠错心得1.当圆和直线y=0相切时,圆心可能在直线y=0的上方,也可能在直线y=0的下方,圆与圆相切有外切和内切两种情况,考虑问题应全面. 2.错解只考虑了圆心在直线y=0上方的情形,同时只考虑了两圆外切的情况.,1,2,3,4,5,6,1.圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+2)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.外切 C.相交 D.内切,则d=r1+r2,即两圆外切. 答案:B,1,2,3,4,5,6,2.已知圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则公共弦AB的垂直平分线的方程
14、为( ) A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 解析:由题意知,公共弦AB的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线. 两圆的圆心分别为(2,-3),(3,0).,直线方程为3x-y-9=0. 答案:C,1,2,3,4,5,6,3.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( ) A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x4)2+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x4)2+(y-6)2=36 解析:由题意知,设所求圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36, 又与圆x2+(y-3)2=1内切
15、,a2=16.a=4.选D. 答案:D,1,2,3,4,5,6,4.过两圆C1:(x-4)2+(y-5)2=10,C2:(x+2)2+(y-7)2=12的交点的直线方程为 . 解析:将两圆方程化为一般式并联立得,两式相减得12x-4y+10=0,即6x-2y+5=0. 答案:6x-2y+5=0,1,2,3,4,5,6,5.以(4,-3)为圆心,且与圆x2+y2=1外切的圆的方程为 .,得r=4. 故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16. 答案:(x-4)2+(y+3)2=16,6.如图,圆O1与圆O2的半径都等于1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|= |PN|.建立适当的平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解:以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,O1O2的中垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 则O1(-2,0),O2(2,0). 又因为两圆的半径均为1, 所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 设点P为(x,y),则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1, 即(x-6)2+y2=33,故所求动点P的轨迹方程为x2+y2-12x+3=0.,
