《2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程习题课——抛物线的综合问题课后训练案巩固提升（含解析）新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程习题课——抛物线的综合问题课后训练案巩固提升（含解析）新人教a版选修1-1（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课抛物线的综合问题 课后训练案巩固提升 一、A组 1.以抛物线y2=2px(p0)的焦半径|MF|为直径的圆与y轴的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:由抛物线定义知|MF|=xM+p2,所以半径r=|MF|2=xM2+p4,而圆心为MF的中点xM+p22,yM2,圆心到y轴的距离为xM+p22=r,故该圆与y轴相切. 答案:B 2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45的直线,则它被抛物线截得的弦长为( ) A.8 B.16 C.32 D.61 解析:由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2
2、-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16. 答案:B 3.(2016福建厦门高二月考)过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2的值为( ) A.4 B.-4 C.p2 D.-p2 解析:法一(特例法):当直线AB垂直于x轴时,有Ap2,p,Bp2,-p,则y1y2x1x2=-p2p24=-4. 法二:由焦点弦AB所在直线方程与抛物线方程联立,得y1y2=-p2,则y1y2x1x2=y1y2y122py222p=4p2y1y2=4p2-p2=-4. 答案:B 4.定点M3,103与抛物线y2
3、=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P坐标为( ) A.(0,0) B.(1,2) C.(2,2) D.18,-12 解析:如图,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|MF|,知d1+d2最小值是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程为y=43x-12,与y2=2x联立,求得x=2,y=2或x=18,y=-12(舍去),所以点P坐标为(2,2). 答案:C 5.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( ) A.(
4、0,2) B.0,2 C.(2,+) D.2,+) 解析:圆心到抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|FM|4即可. 根据抛物线定义,|FM|=y0+2,由y0+24,解得y02,故y0的取值范围是(2,+). 答案:C 6.焦点为F的抛物线y2=2px(p0)上一点M在准线上的射影为N,若|MN|=p,则|FN|= . 解析:由条件知|MF|=|MN|=p,MFMN,在MNF中,FMN=90,得|FN|=2p. 答案:2p 7.(2016四川绵阳高二月考)若P为抛物线y2=4x上一动点,则点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值等于 . 解析:易知点A在抛物线外. 点P到x=
5、-1的距离等于点P到焦点F(1,0)的距离,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和为点P到焦点F(1,0)的距离和到点A(2,3)的距离之和减1. 当且仅当A,P,F三点共线(点P在线段AF上)时,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和最小,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值为|AF|-1=10-1. 答案:10-1 8.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且AOB的面积为16,则AOB等于 . 解析:由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称. 设A-a,a24,Ba,a24,a0, 则SAOB=122aa24=16,解得
6、a=4. 所以AOB为等腰直角三角形,AOB=90. 答案:90 9.设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点. (1)设l的斜率为2,求|AB|的大小; (2)求证:OAOB是一个定值. (1)解:依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1). 设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2), 由y=2(x-1),y2=4x,消去y, 整理得x2-3x+1=0, 所以x1+x2=3,x1x2=1. 所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5. (2)证明:设直线l的方程为x=ky+1,直线l与抛物线的交点A(x1,y1)
7、,B(x2,y2), 由x=ky+1,y2=4x,消去x, 整理得y2-4ky-4=0, 所以y1+y2=4k,y1y2=-4. 因为OAOB=(x1,y1)(x2,y2) =x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k2+4k2+1-4=-3, 所以OAOB是一个定值. 10.导学号59254033动圆P与直线x=-1相切,点F(1,0)在动圆上. (1)求圆心P的轨迹Q的方程; (2)过点F作曲线Q的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN必过定点. (1)解:设P(x,y),根据题意
8、,有(x-1)2+y2=x+1,化简,得y2=4x,即圆心P的轨迹Q的方程为y2=4x. (2)证明:由题意,知直线AB的斜率存在且不为0. 设直线lAB:y=k(x-1),A(xA,yA),B(xB,yB), 代入y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0, 所以xA+xB=2(k2+2)k2. 因为M是线段AB的中点, 所以Mk2+2k2,2k. 因为ABCD,所以将点M坐标中的k换成-1k,即得N(2k2+1,-2k). 当k2+2k2=2k2+1,即k=1时,直线lMN:x=3; 当k1时,直线lMN:y+2k=-2k-2k2k2+1-k2+2k2(x-2k2-1). 整理,得
9、(1-k2)y=k(x-3),所以直线MN过定点(3,0). 综上所述,不论k为何值,直线MN必过定点(3,0). 二、B组 1.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x10,x20. 由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, 所以x1x2=4. 根据抛物线的定义得,|FA|=x1+2,|FB|=x2+2. 因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2. 由得x2=1,所以B(1,2
10、2),代入y=k(x+2),得k=223. 答案:D 2.(2016吉林长春高二月考)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是( ) A.5 B.17 C.17-1 D.17+1 解析:点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离.圆心坐标是(0,4),圆心到抛物线焦点的距离为17,即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是17-1,这个值即为所求.故选C. 答案:C 3.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=
11、 . 解析:由y2=4x得F(1,0),准线方程为x=-1. 又FA+FB+FC=0,可知F是ABC的重心, 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 所以x1+x2+x33=1,即x1+x2+x3=3. 由抛物线定义可得|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,|FC|=x3+1,所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+3=3+3=6. 答案:6 4.已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,若OAOB=-4,则直线l恒过的定点M的坐标是 . 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1x2+y1y2=-4. 当直线l的斜率不存在时,设其方程
12、为x=x0(x00), 则x02-4x0=-4,解得x0=2; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b, 由y=kx+b,y2=4x,得ky2-4y+4b=0,得y1y2=4bk, 则x1x2=y12y2216=b2k2, 得b2k2+4bk=-4,所以bk=-2, 有b=-2k,直线y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0). 又直线x=2也恒过定点(2,0),得点M的坐标为(2,0). 答案:(2,0) 5.导学号59254034已知抛物线y2=4x,过其焦点F作弦AB,若弦长|AB|不超过8,且弦AB所在直线l与椭圆3x2+2y2=2相交,试确定弦AB所在直线l的斜率k的
13、取值范围. 解:由题意得抛物线的焦点坐标为F(1,0), 则弦AB所在直线的方程为y=k(x-1)(k0). 联立方程y2=4x,y=k(x-1), 消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2, 因为|AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+28, 所以k21,即k-1或k1. 联立方程3x2+2y2=2,y=k(x-1), 消去y得(3+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0. 因为直线l与椭圆相交, 所以=-8k2+240, 解得-30),由准线x=p2=1,得p=2,所以抛物线方程为y2=-4x. 由题意,设直线PQ的方程为x=my-2,代入y2=-4x,消去x,整理得y2+4my-8=0,从而y1y2=-8. (2)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4), 则k1k2=y1-y2x1-x2x3-x4y3-y4 =y1-y2y12-4-y22-4y32-4-y42-4y3-y4=y3+y4y1+y2. 设直线PM的方程为x=ny-1,代入y2=-4x, 消去x,整理得y2+4ny-4=0, 所以y1y3=-4, 同理y2y4=-4. 故k1k2=y3+y4y1+y2=-4y1+-4y2y1+y2=-4y1y2=-4-8=12,为定值. 5
