《2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 柱、锥、台的体积课件 北师大版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 柱、锥、台的体积课件 北师大版必修2（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.2 柱、锥、台的体积,柱体、锥体、台体的体积公式,规律总结在台体的体积公式中,如果设S上=S下=S,就得到柱体的体积公式V柱体=Sh;如果设S上=0,S下=S,就得到锥体的体积公式V锥体= Sh.因此,柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为: 由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.,【做一做1】 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为 .,解析:由题意可得六棱台上、下底面的面积分别为,【做一做2】 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面,则该圆锥的体积为 .,解析:设该圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h.,思考辨析 判断下列说法是否正确,
2、正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)等底等高的两个柱体的体积相同. ( ) (2)等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的9倍. ( ),探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一柱体体积的计算 【例1】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与该侧面的底边所成的角为45,则此三棱柱的体积为( ),解析:如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1中,面对角线AB1=2,B1AB=45,答案:A,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.求柱体的体积关键是求其底面面积和高,底面面积利用平面图形面积的求法,常转化为三角形及四边形,高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形,进而求解. 2.
3、一个几何体在空间中可以有不同的放置方法,例如三棱柱既可以把底面放在水平面上,也可以将其中的一个侧面放在水平面上,但在求其体积时,一定要分清棱柱真正的底面,放在水平面上的不一定是底面.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1 如图所示,某简单几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形,且其体积为 ,则该几何体的俯视图可以是( ),探究一,探究二,探究三,思想方法,答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,【例2】 如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形PDAQ为直角梯形,ADP=90,QA平面ABCD,PDQA,QA=AB= PD.求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.
4、,分析:对于棱锥Q-ABCD,其底面为正方形ABCD,高即为QA,易求体积;对于三棱锥P-DCQ,若以DCQ为底面,则应证明PQ是其高,然后再计算,也可将三角形CDP作为底面,这时其高易证即为AD,从而可求体积.,探究二锥体体积的计算,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:设AB=a.由题意知AQ即为棱锥Q-ABCD的高,方法一:由于棱锥P-DCQ与棱锥Q-CDP是同一个棱锥,其体积相等,而其底面是RtCDP,面积S1= a2a=a2. 取DP的中点N,连接QN,则QNAD. 又ADDC,ADDP,DCDP=D, 所以AD平面CDP. 故QN平面CDP. 因此QN就是三棱锥Q-CDP的高,且Q
5、N=AD=a.,于是V1V2=1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法二:因为QA平面ABCD,QA平面PDAQ, 所以平面PDAQ平面ABCD,交线为AD. 又四边形ABCD为正方形,DCAD, 所以DC平面PDAQ. 于是得PQDC.,所以DQ2+PQ2=PD2.所以PQQD. 又DQDC=D,所以PQ平面DCQ.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟怎样求锥体体积 1.锥体的体积公式V= Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥. 2.三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得
6、转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其体积等于 . 解析:该圆锥的底面半径为R,由于轴截面是等腰直角三角形,因此圆锥的高为R.,答案:9,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究三台体体积的计算 【例3】 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180,那么该圆台的表面积和体积分别是多少?(结果中保留),解:如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180,所以c=SA=210,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB
7、=SB-SA=20,所以S表面积=S侧+S上+S下=(10+20)20+102+202=1 100(cm2). 故圆台的表面积为1 100 cm2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟求台体体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高,然后套用公式V= h计算求解,要充分利用截面、轴截面、展开图等求出所需要的量,再代入公式计算.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A.54 B.54 C.58 D.58,解析:设上底面半径为r,则由题意得下底面半径为3r,设圆台高为h1,答案:A,探究一,
8、探究二,探究三,思想方法,转化思想在求体积中的应用 【典例】 如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为( ),探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛转化思想是解决数学问题的基本思想,它将新的问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解.,答案:A,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练已知直三棱柱ABC-A1B1C1,点C到AB的距离为3 cm,侧面ABB1A1的面积为8 cm2,求直三棱柱的
9、体积. 解:补上一个相同的直三棱柱ACD-A1C1D1,可以得到一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1. 这个直四棱柱可以看成以ABB1A1为底面的四棱柱DCC1D1-ABB1A1,所以点C到AB的距离即为C到底面ABB1A1的距离,1,2,3,4,5,答案:A,1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是( ),1,2,3,4,5,2.已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4,则该圆柱的体积为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:V圆柱=r2h=(42)24=16. 答案:D,1,2,3,4,5,3.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为( ),解析:设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h, 由已知得2Rh=rh,r=2R,答案:D,1,2,3,4,5,4.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 .,解析:由三视图可知该几何体为四棱锥,底面积S=400,高h=20,所以,1,2,3,4,5,5.已知一个几何体的三视图如图所示,试计算其体积.,解:由三视图可知,该几何体是由一个圆锥和一个正方体构成的.,
