《2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1 空间图形的基本关系与公理课件 北师大版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1 空间图形的基本关系与公理课件 北师大版必修2（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 空间图形的基本关系与公理,第1课时 空间图形的基本关系与公理,1.空间点与直线、点与平面的位置关系,2.空间直线与平面的位置关系,【做一做1】 把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. (1)A,a . (2)=a,P且P . (3)a,a=A . (4)=a,=c,=b,abc=O . 答案:(1)C (2)D (3)A (4)B,名师点拨直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线在平面外,即,3.空间图形的公理,知识拓展根据公理1,可以得到以下3个推论,它们都可以作为在空间中确定平面的依据.,【做一做2】 下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形
2、 C.三角形一定是平面图形 D.平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 解析:本题考查平面的基本知识.A选项,当三点共线时有无数多个平面;B选项,四边形有空间四边形与平面四边形之分;C选项,三角形的三个顶点不共线,根据公理1可知三角形的三个顶点确定一个平面;D选项,若具有D选项中的条件,则与重合.故选C. 答案:C,【做一做3】 如图所示,点A在平面内,点B也在平面内,点C在直线AB上. (1)用符号语言表示上述位置关系; (2)判断点C与平面的关系. 分析:由公理2可知AB在平面内,而点C在直线AB上,所以点C在平面内. 解:(1)A,B,CAB. (2)因为A,B,所以AB. 又因为CAB
3、,所以C.,4.空间平面与平面的位置关系(除重合外),5.空间两条直线的位置关系,【做一做4】 已知a,b是异面直线,直线ca,则c与b ( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析:若a,b异面,ca,则c与b相交或异面,故C正确. 答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)如果直线a与直线b是异面直线,直线b与直线c也是异面直线,那么直线a与直线c也一定是异面直线. ( ) (2)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面必重合. ( ) (3)平面与平面会只有一个公共点. ( ) (4)不
4、共线的四点最多可确定4个平面. ( ) (5)两两相交的三条直线必共面. ( ),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,证明:如图所示,已知l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C. 方法一(同一法) l1l2=A,l1和l2确定一个平面. l2l3=B,Bl2.又l2,B. 同理可证C.又Bl3,Cl3,l3. 直线l1,l2,l3在同一平面内.,探究一公理1的应用 【例1】 证明:两两相交,且不共点的三条直线在同一平面内.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,方法二(重合法) l1l2=A,l1,l2确定一个平面. l2l3=B,l2,l3确定一个平面. Al2,l2,A. Al
5、2,l2,A. 同理可证B,B,C,C. 不共线的三个点A,B,C既在平面内,又在平面内.平面和重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟1.公理1的主要作用有两个:一是作为确定平面的依据,判断若干个点或线能否确定平面,确定几个平面等;二是证明点线共面. 2.证明点线共面问题的基本方法主要有以下两种:,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,延伸探究(1)把【例1】中的“不共点”删掉呢?这三条直线是否共面? (2)把【例1】中“三条直线”改为“四条直线”呢?这四条直线是否共面?试证明你的结论. 解:(1)不一定共面. 若三条直线两两相交,且
6、过同一个点. 这三条直线在同一个平面内相交,如图. 这三条直线不共面.如图.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,若三条直线两两相交,且不共点,由【例1】可知,这三条直线共面. (2)共面. 已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点. 求证:a,b,c,d四线共面. 证明:无三线共点情况,如图. 设ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S. 因为ad=M,所以a,d可确定一个平面. 因为Nd,Qa,所以N,Q, 所以NQ,即b. 同理,c,所以a,b,c,d共面.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,有三线共点的情况,如图. 设b,c,d三线相交于点K,与a
7、分别交于N,P,M且Ka, 因为Ka,所以K和a确定一个平面,设为. 因为Na,a,所以N.所以NK,即b. 同理,c,d. 所以a,b,c,d共面. 由知,a,b,c,d共面.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,【例2】 如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,M,N分别是所在棱的中点,连接DM,并延长交CB的延长线于点E,连接CN并延长,交CB的延长线于点F. 求证:直线EF平面BCCB.,分析:要证明直线在平面内,需说明直线上有两个点在这个平面内. 证明:B平面BCCB,C平面BCCB, 直线BC平面BCCB. 又CNCB=F,FCB,F平面BCCB. 同理可得E平面BCCB.
8、直线EF平面BCCB.,探究二公理2的应用,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟公理2的作用有两个:(1)用直线检验平面;(2)判断直线是否在平面内.要证明直线在平面内,只需要在直线上找到两个点,证明这两个点都在这个平面内,直线就在这个平面内,解决问题的关键就在于寻找这样的点.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练1若l1l2,l3与l1,l2分别相交于点C,B.求证:l1,l2,l3在同一平面内. 证明:l1l2,l1,l2确定一个平面记为. l1l3=C,Cl1. l1,C. l2l3=B,Bl2.l2,B. Bl3,Cl3,l3,即l1,l2,l3在同一平面内
9、.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,【例3】 如图所示,在棱长均相等的正三棱锥A-BCD中,E,G分别为BC,AB的中点,点F在CD上,点H在AD上,且有DFFC=DHHA=23,求证:EF,GH,BD交于一点. 分析:先证明GH和EF共面且交于一点O,再说明O是平面ABD和平面BCD的公共点,而平面ABD和平面BCD相交于直线BD,根据公理3,两个平面相交,有且只有一条交线.因此点O在交线上,即点O在直线BD上.从而证明了直线EF,GH,BD都过点O.,探究三公理3的应用,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,证明:因为E,G分别为BC,AB的中点,所以FHGE,FHGE. 所
10、以四边形EFHG是一个梯形. 设GH与EF相交于点O,则O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在平面ABD与平面BCD的交线上,而这两个平面的交线是BD,且交线只有一条, 所以点O在直线BD上.所以EF,GH,BD交于一点.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟1.公理3的主要作用:(1)判断两个平面是否相交;(2)证明点在直线上;(3)证明共线问题;(4)证明共点问题. 2.证明多点共线通常利用公理3,即两个相交平面的交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,证明其他点也在这条直线上. 3.证明三线共点问题可先把其中一
11、条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,再证两条直线的交点在此直线上,此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线,证明该交线与另两条直线分别交于两点,再证点重合,从而得三线共点.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C与平面BDC1交于点M,BD与AC交于点O,则( ) A.MBC1 B.MDC1 C.MC1O D.MB1B 解析:因为MA1C,A1C平面A1ACC1, 所以M平面A1ACC1. 因为M平面BDC1,且平面A1ACC1平面BDC1=C1O,所以MC1O.故选C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,易
12、错辨析,【例4】 如图所示,点P是ABC所在平面外一点,点D,E分别是PAB和PBC的重心.求证:DEAC,DE= AC.,探究四公理4的应用,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,证明:如图所示,连接PD,PE,并延长分别交AB,BC于点M,N. 因为点D,E分别是PAB,PBC的重心,所以M,N分别是AB,BC的中点.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟空间中证明两条直线平行的方法: (1)借助平面几何知识,如三角形的中位线性质、平行四边形的性质、成比例的线段平行. (2)利用公理4,即证明两条直线都与第三条直线平行.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练
13、3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1A,C1C的中点,求证:四边形MBND1为平行四边形.,证明:取B1B的中点P,连接C1P,MP. 因为N为C1C的中点, 由正方体的性质知C1NPB, 所以四边形C1PBN为平行四边形, 所以C1PBN. 又M,P分别为A1A,B1B的中点, 所以MPA1B1. 又由正方体的性质知A1B1C1D1,所以MPC1D1, 所以四边形D1MPC1为平行四边形, 所以C1PMD1.所以MD1BN, 所以四边形MBND1为平行四边形.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,对点、线、面的位置关系考虑不全而致误 【典例】 已知空间四
14、点,如果任意三点都不共线,那么由这四点可以确定多少个平面?说明理由. 错解因为不共线的三点确定一个平面,所以由题设条件中的四点可确定四个平面. 正解空间任意三点都不共线的四个点有两种位置关系: 第一种,当由其中任意不共线的三点所确定的平面都过第四个点时,由这四个点只能确定一个平面; 第二种,当由其中任意不共线的三点所确定的平面都不过第四个点时,由这四个点可确定四个平面. 综上所述,由题设条件中的四点可确定一个或四个平面.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,纠错心得1.对于确定平面个数问题,在讨论中要全面考虑,尤其要先分清给出几个点的可能的位置关系,再进行分类讨论. 2.可借助正方体、三
15、棱锥等特殊几何体进行直观观察.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练已知空间不同的五个点. (1)若有某四点共面,则这五点最多可确定多少个平面? (2)若任意四点都在同一平面内,则这五点共能确定多少个平面?并证明你的结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)当共面的四点任意三点不共线,另一点不在该平面内时,这五点确定的平面最多,如图所示,最多可确定7个平面. (2)若任意四点都在同一平面内,这五点必共面. 证明如下:若A,B,C,D四点在平面内,又A,B,C,P在同一平面内,可分如下情况证明: 若A,B,C三点不共线,则平面为A,B,C确定的平面,所以点P在平面内,故五点共面. 若A,B,C三点在直线l上,则当点D或P也在l上时,五点共面;若点D,P都不在l上,则直线DP与直线AB必在A,B,D,P所在的平面内,故点C也在这一平面内,从而五点也共面.,1,2,3,4,5,1.如图所示,该图形用符号语言可表示为( ) A.=m,n,mn=A B.=m,n,mn=A C.=m,n,Am,An D.=m,n
