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1、OABQCDPOAB QCDPM第 16 讲 比例式的证明方法艺术的进步在很大程度上取决于艺术的特征.为什么人们总是用数和线或由数和线所描述的事物来说明问题呢？这是因为任何概念除了与数和线相对应的这些特征以外，再无其他更重要的特征了.莱布尼兹知识方法扫描1形如 ab=cd 的乘积式的证明，常化成比例式 。而比例式的证明，adcb可由题目条件选择平行线分线段成比例定理，相似形的性质或角平分线性质定理来解决。必要时还需引入第三比来转化。2形如 ， ， 一类式子的证明，常将其转化为若干比2acbd31abcdef例式之积来解决。如要证明 ，可先设法证 ，二式相乘即可。2 ,acxbd这里寻找线段 x
2、,是证题的关键。3形如 一类以分式形式出现的等式的证明，一般是利用比例关xyzpqr系化为分母相同的一组比，然后进行计算，这种方法类似于分式运算中的通分。还有一类形如 的式子中没有线段的比，可以化为 的形式来证1abc 1cab明。 4形如 ab+cd=ef 的等式的证明，常将 e 或 f 两段中的一段分成两段，如将 f 分为 x+y,然后设法证明 ab=ex,cd=ey 即可，选择 f 上的分点，是探寻证题思路的关键。5利用比例线段还可以用来证明线段或角的相等，以及证明直线的平行与垂直等，还可以用来计算有关线段长度，及角的度数等经典例题解析例 1(1985 年合肥市初中数学竞赛试题)如图，在
3、O 内，弦ABCD，QO AB 交 BC 于 P，交 AC 延长线于 Q，求证： OPOQ=OA2。证明 如图，连结 PA，OB。因 ABCD，QOAB，故BOM=AOM=AOB = ACM，于是BOP= PCQ 。12又OPB=CPQ，于是OPB= Q。但显然有OPB=PAO，于是PAO= Q。从而 POAAOQ ， ，OPOQ=OA 2。OPA例 2ABC 的三条内角平分线相交于 I, 过 I 作 DEAI, DE 交 AB 于 D, 交 AC 于 E. 求证： .CEBID2证明 如图，DIB ADI DBI(90 1) 290 BAC ABC1290 (180 ACB) ACB 3,
4、1同理可证EIC2, 故有 IDBCIB. , 即 IB2BDBC. BCID同法可证CEICIB，IDBCEI， CEIDBAI 平分 DAE, AIDE,DI EI.故 即 ID2BDCE. CEID BIB2例 3 （1985 年宁夏回族自治区初中数学竞赛试题）如图，已知 AD 是ABC的外接圆的直径，由 B，C 分别作 AD 的垂线交 AC 的延长线于 E，交 AB 于 F，求证： 。3AEFADBCEF HG证明 设 FC，EB 分别交 AD 于 H，G。连结 BD，CD 。由射影定理，得 AB2=AGAD， AC2=AHAD，于是 2ABGCH由 CFBE，得 .ABF易证AEBA
5、BC，于是 AEC由得 。3A例 4四边形 ABCD 是圆内接四边形，求证：ACBD=ABCD+ADBC。证明 作 DE 交 AC 于 E，使1= 2，因3=4，故CDEDAB，于是有 ，ABCD=DBCECDBA同理可证DAECDB， ，DABC=BDAEDABC将上面两式相加，可得ABCD+ DABC= DBCE+ BDAE=BD（CE+AE ） =BDAC。1432CDA BE评注 1 本题就是托勒密定理：圆内接四边形的对角线之积等于它的两组对边乘积之和。2托勒密定理的逆定理也是成立的，即若一个四边形的对角线之积等于它的两组对边乘积之和，那么这个四边形内接于圆。例 5 （1985 年黑龙
6、江省齐齐哈尔市、大庆市初中数学竞赛）如图，P 为ABC 的中位线 DE 上的一点，BP 交 AC 于 N，CP 交 AB 于 M求证：.1MBANC解 如图，过 A 作 BC 的平行线分别交直线 BN、CM 于 G、H 连 GC、HB. 易知 HGDEBC.由于 D 为 AB 中点，可知 P 为 BG、CH 的中点故四边形 BCGH 为平行四边形，有 BCHMGNC,于是， ,1BCAGA即 .1例 6在ABC 中， ABC=124求证： 。A分析 要证明 ，只要证明 或BCA1BCA1即可。BCA设法利用长度分别为 AB，BC，CA 及 ABAC 这 4 条线段，构造一对相似三角形，问题可能
7、解决注意到原ABC 中，已含上述 4 条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC 为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与 ABC 相似，期望能解决问题证明 延长 AB 至 D，使 BD=AC(此时，AD=ABAC) ，又延长 BC 至 E，使 AE=AC，连结 ED下面证明 ADEABC设 A=，B=2，C=4，则A+B+ C=7=180由作图知，ACB 是等腰三角形 ACE 的外角，所以 ACE=180-43，所以 CAE=180-3-3=7-6=从而EAB=2 EBA，AEBE又由作图 AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，BDE 是等腰三角形，所以D BED CAB，所以 ABCD
8、AE， ，即 。BCAEDBCAAB CDE FOG HKM所以 BCA1例 7 （1999 年上海市高中理科班、数学班招生选拔测试数学试题）如图所示,在锐角ABC 中,AD 是 BC 边上的高 E 是 AD 上一点且满足AEED=CD DB,过 D 作 DFBE,F 为垂足,证明 :AFC=90。AB CEFD证明 DF 为 RtBDE 斜边上的高, EDF= EBD, 故EFD EDB。于是 ，从而 。EDBFAEDAEFF由条件 , 所以 ，即有 CCBCD另一方面,AEF=90+EDF=CDF, 即AEF=CDF 由可知AEFCDF, 所以AFE= CFD. 于是AFC=DFE=90
9、.例 8 （1978 年天津市数学竞赛试题）设ABC 为等腰三角形，BC 为底边，D 为从 A 到 BC 的垂足，以 AD 为直径作圆，由 B，C 依次作圆的切线 BE 和CF， E，F 为切点，证明 EF 在ABC 内部一段的长等于它在外部两段之和。AB CDE FOG H证明 过 A 作O 的切线与 CF 的延长线交于 K 点，则有AK=FK，CD=CF 。易证 AKMFDC， 于是有 ， ，即 ，HMKFDCHAF所以 MH=HF，同理 GM=GE， 于是 GH=MH+GM=HF+GE同步训练一、选择题1 （1997 年荆州市初三数学竞赛试题）如图。D 为ABC 的 BC 边的中点，E
10、为 AC 边上的点，且 AC=3CE,，BE 和 AD 交于 O 点，则 等于AD(A) 2 (B) 3 或 4 (C) 3 (D) 4AB CDEO2 （1994 年全国初中数学联赛试题）设锐角的三条高, , 相交于 ,BECFH若 , , ,则 的值是aCbAcBHBADH(A) ; (B) ;a1 221cba(C) ; (D) .333如图, ABC 中, AD 是角平分线, BAC120, 若 ABc, ACb, ADx, 则( ) A、b x c B、 xcb1C、 D、b, c, x 的关系无法确定1二、填空题4在 RtABC 中, 斜边 BC 上的高为 AD, 则 _.2ABD
11、C5(第 17 届哈尔滨市初中数学竞赛试题)如图，从圆 O 外一点 M 作圆的切线 MA，切点为 A，再作割线 MBC,交圆 O 于 B,C 两点， ANC 的平分线交 AC 于 E,交AB 于 D,则 的值等于 .DBECO MACBE D6 （1990-1991 学年度广州等五市初中数学联赛试题）如图，正ABC 和正A 1B1C1 中，点 O 既是 AC 的中点，又是 A1C1 的中点，则 AA1:BB1= .ABC DAB CDEFGAB COA1C1B1三、解答题7求证：圆外切等腰梯形的高是其上下两底的比例中项. 8已知 G 为ABC 的重心, 过 A、G 作一圆与 BG 相切, 若
12、CG 的延长线交圆于 H, 求证：AG 2CGHG. 。9 （1996 年全国初中数学联赛四川赛区预赛试题）如图，在ABC 中，C=90，A 的平分线 AD 交 BC边于 D，求证： .2CBD10在等腰三角形 ABC 中， AD 是底边 BC 上的高，CE 是腰 AB 上的高，DFCE 于 E，FG AD 于 G，求证： 。3FBDA11如图 AB 是半圆的直径，C，D 是半圆上两点 AD，BC 交于 P ，求证：APAD+BPBC=AB2A BCDP12 （2000 年我爱数学初中生夏令营试题）已知 M，N 分别在正方形ABCD 的边 DA，AB 上，且 AMAN，过 A 作 BM 的垂线
13、，垂足为 P。求证APNBNC。13在ABC 中, P、Q 分别是 AB、AC 边上的点且PQBC, 延长 CA 到 D, 过 Q 作 QEBD 与 BA 的延长线交于 E, 求证：CEPD. 14ABC 的内切圆 O 切 BC,CA,AB 于 A,B,C.过 O 分别作ABC 各边的平行线，它们在 BC,CA,AB 上截得的线段分别为 EF,MN,PQ，求证： 。 1EFMNPQBCAAB COABCQMPFNE15如图, 在MPN 的边 PM 上有点 A, D；在边 PN 上有点 C, B, AB 与CD 相交于 F. (1) 若 PF 是MPN 的平分线, 求证： ；PCBPA11(2)
14、 若 , 则 PF 是MPN 的平分线. PCBA11MNPDBCFA同步训练题参考答案1D 过 D 作 DFBE，交 CE 于 D，显然 D 为 CE 中点。AE=2CE=4EF ，=4。AOEFAB CDEAB CDEO F2B 由题设可知，H，D，C，E 四点共圆.因此，有AEA BAEcos)(122)(122ab同理， ，cB)(22aCFH所以 )(212cbaCFHEAD3. B过 D 引 DEAB，交 AC 于 E因为AD 是BAC 的平分线，BAC=120，所以 BAD=CAD=60又 BAD=EDA=60，所以ADE是正三角形，所以 EA=ED=AD 由于 DEAB，所以CEDCAB ，所以CAECAEBD1由，得 , 从而 ,即 .DAB1xcb141= = =1。2AB5. 1 因 ME 是ANC 的平分线，故有 。于是,DMANECA,DM,EC= + BAB= ，2CBMAA因 MA2=MBMC，故 =1。DEB6 3连结 BO，B 1O，则 BO， B1O 分别是ABC 和A 1B1C1
