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1、课时分层作业(十) 双曲线的简单几何性质(建议用时：40分钟)基础达标练一、选择题1已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A. B. C. D.C由题意知a259，解得a2，故e.2已知双曲线方程为x21，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l()A4条 B3条C2条 D1条B因为双曲线方程为x21，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.3双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近
2、线的距离为，则双曲线C的焦距等于()A2 B2 C4 D4C由已知得e2，所以ac，故bc，从而双曲线的渐近线方程为yxx，由焦点到渐近线的距离为，得c，解得c2，故2c4，故选C.4若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的() 【导学号：97792092】A实半轴长相等 B虚半轴长相等 C离心率相等 D焦距相等D若0k0,16k0，故方程1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e；同理方程1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e.可知两曲线的焦距相等，故选D.5设双曲线1(ba0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(
3、0，b)两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为()A. B. C. D2D直线l的方程为1，即bxayab0，原点到直线l的距离dc即abc2，所以a2(c2a2)c4.整理得3e416e2160，解得e24或e2又ba0，所以e212，故e2.二、填空题6已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线方程为_y21由题意可得，解得，故所求双曲线方程为y21.7若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是_. 【导学号：97792093】(1，)e21，由a1得1e22.所以1e0)的两条渐近线分别交于点A，B，且AOB的面积为8，则焦距为_2
4、双曲线的渐近线方程为ybx，则A(2,2b)，B(2，2b)，|AB|4b，从而SAOB4b28.解得b2，所以c25，从而焦距为2.三、解答题9双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，求双曲线的标准方程和离心率解由椭圆1，知c2641648，且焦点在y轴上，双曲线的一条渐近线为yx，设双曲线方程为1.又c22a248，a224.所求双曲线的方程为1.由a224，c248，得e22，又e0，e.10已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2，其中O为原点，求k的取值范围. 【导学
5、号：97792094】解(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2.又因为a2b2c2，所以b21，故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21中，得(13k2)x26kx90，由直线l与双曲线交于不同的两点得：即k2且k22得xAxByAyB2，而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)2，于是2，解此不等式得k23.由得k20，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C5x4y0 D4x3y0D
6、由题意可知|PF2|F1F2|2c，所以PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|24b，又|PF1|PF2|2a，所以4b2c2a，所以2bac，两边平方可得4b24aba2c2a2b2，所以3b24ab，所以4a3b，从而，所以该双曲线的渐近线方程为4x3y0，故选D.3设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_1不妨设点B在第一象限，则A1(a,0)，B，A2(a,0)，C，所以，.因为A1BA
7、2C，所以0，所以c2a20，整理得，1，即1，所以渐近线的斜率为1.4已知直线l：xym0与双曲线x21交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2y25上，则实数m的值是_. 【导学号：97792095】1由，消去y得x22mxm220.则4m24m288m280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22m，y1y2x1x22m4m，所以线段AB的中点坐标为(m,2m)又点(m,2m)在圆x2y25上，所以m2(2m)25，得m1.5直线yax1与双曲线3x2y21相交于A，B两点(1)求线段AB的长；(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？解由得(3a2)x22ax20.由题意可得3a20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(1)|AB|.(2)由题意知，OAOB，则0，即x1x2y1y20，x1x2(ax11)(ax21)0.即(1a2)x1x2a(x1x2)10，(1a2)a10，解得a1.经检验a1时，以AB为直径的圆经过坐标原点.6
