《2018年秋高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用学案 新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年秋高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用学案 新人教a版必修5（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标：1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)自 主 预 习探 新 知1等比数列前n项和的变式当公比q1时，等比数列的前n项和公式是Sn，它可以变形为Snqn，设A，上式可写成SnAqnA.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当公比q1时，因为a10，所以Snna1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)思考：在数列an中，an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k，则
2、实数k的取值是什么？提示由题an是等比数列，3n的系数与常数项互为相反数，而3n的系数为，k.2等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列an的前n项和，且SnAqnA(Aq0，q1)，则数列an是等比数列性质二：若数列an是公比为q的等比数列，则在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则q.Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列思考：在等比数列an中，若a1a220，a3a440，如何求S6的值？提示S220，S4S240，S6S480，S6S480S24080140.基础自测1思考辨析(1)等比数列an共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q2.()(2
3、)已知等比数列an的前n项和Sna3n11，则a1.()(3)若数列an为等比数列，则a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列()(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)提示：(1)q；(2)由等比数列前n项和的特点知a1得a3；(4)由S3，S6S3，S9S6成等比数列知(4)错误2已知数列an为等比数列，且前n项和S33，S627，则公比q_.2q38，所以q2.3若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_. 【导学号：91432227】(2)n1当n1时，S1a1，所以a11.当n2时，anSnSn1an(anan1)，所
4、以an2an1，即2，所以an是以1为首项的等比数列，其公比为2，所以an1(2)n1，即an(2)n1.4设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.35设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735，即a5b535.合 作 探 究攻 重 难等比数列前n项和公式的函数特征应用已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列an() 【导学号：91432228】A一定是等差数列B一定是等比数列C是等差数列或等比数列D既非等差数列，也非等比数列B当n2时，anSnSn1(a1)an1；当
5、n1时，a1a1，满足上式an(a1)an1，nN*.a，数列an是等比数列规律方法（1）)已知Sn通过an求通项an，应特别注意n2时，anSnSn1.（2）若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，则an是等比数列.跟踪训练1若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.等比数列前n项和性质的应用探究问题1在等差数列中，我们知道Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等差数列在等比数列an中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列吗？为什么？提示：Sm，S2mSm，S3mS2m，
6、仍组成等比数列在等比数列an中有amnamqn，Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1qma2qmamqm(a1a2am)qmSmqm.同理S3mS2mSmq2m，在Sm0时，Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列2若数列an为项数为偶数的等比数列，且S奇a1a3a5，S偶a2a4a6，那么等于何值？提示：由等比数列的通项公式可知q.(1)等比数列an的前n项和为Sn，S27，S691，则S4为()A28B32C21D28或21(2)等比数列an中，公比q3，S8032，则a2a4a6a80_【导学号：91432229】思路探究：(1)由S2，S4S2，S6S4成等比数列求
7、解(2)利用 q，及S2nS奇S偶求解(1)A(2)24(1)an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，即7，S47,91S4成等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421.S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)S2，S428.(2)设S1a2a4a6a80，S2a1a3a5a79.则q3，即S13S2.又S1S2S8032，S132，解得S124.即a2a4a6a8024.母题探究：1.(变条件)将例题(1)中的条件“S27，S691”改为“正数等比数列中Sn2，S3n14”求S4n的值解设S2nx，S4ny，则2，x2,
8、14x，y14成等比数列，所以所以或(舍去)，所以S4n30.2(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q3，S8032”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的，又它的首项为，且中间两项的和为”求此等比数列的项数解设等比数列为an，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，q.则q，又an和an1为中间两项，则anan1，即a1qn1a1qn，又a1，q，n1nn1n6.项数为2n12.则此等比数列的项数为12.规律方法1在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算若项数为2n，则q(S奇0)；若项数为2n1，则q(S偶0)2等比数列前n项和为Sn(且Sn0)，
9、则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn(q1).分组求和法已知数列an构成一个新数列：a1，(a2a1)，(anan1)，此数列是首项为1，公比为的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数列的前n项和，数列an的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了解(1)ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)12n1.(2)Sna1a2a3ann(2n1)n1.规律方法分组转化求和法的应用条件和解题步骤：(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等
10、差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成(2)解题步骤跟踪训练2求数列2，4，6，2n，的前n项和Sn.【导学号：91432230】解Sn246(2462n)n(n1).当 堂 达 标固 双 基1设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5等于()A34B23C12 D13A设S52k(k0)，则S10k，S10S5k.由S5，S10S5，S15S10成等比数列得S15S10k，于是S15k，S15S5k2k34.2等比数列an的公比为q(q1)，则数列a3，a6，a9，a3n，的前n项和为()【导学号：91432231】A. B.C. D.C等比数列中，序号成等差数
11、列，则项仍成等比数列，则a3，a6，a3n是等比数列，且首项为a3，公比为q3，再用等比数列的前n项和公式求解，即Sn，故答案为C项3(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.63通解因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11；当n2时，a1a22a21，解得a22；当n3时，a1a2a32a31，解得a34；当n4时，a1a2a3a42a41，解得a48；当n5时，a1a2a3a4a52a51，解得a516；当n6时，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632.所以S61248163263.优解因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663.4数列，的前n项和为_. 【导学号：91432232】n1通项an1前n项和Snnn1.5设等比数列an的前n项和为Sn，已知S42，S86，求a17a18a19a20的值解由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列由题意可知上面数列的首项为S42，公比为2，故S4nS4n42n(n2)，所以a17a18a19a20S20S162532.- 7 -
