《2018年秋高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教a版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年秋高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教a版选修2-2（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 学习目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则(重点)2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(易错点) 自 主 预 习探 新 知 1复数加法与减法的运算法则 (1)设z1abi，z2cdi是任意两个复数，则 z1z2(ac)(bd)i； z1z2(ac)(bd)i. (2)对任意z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1； (z1z2)z3z1(z2z3) 2复数加减法的几何意义 如图321，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1z2对应，向量与复数z1z2对应 图321 思考：类比绝对值|xx
2、0|的几何意义，|zz0|(z，z0C)的几何意义是什么？ 提示 |zz0|(z，z0C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离 基础自测 1思考辨析 (1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则( ) (2)复数与复数相加减后结果为复数( ) (3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义( ) 答案 (1) (2) (3) 2已知复数z134i，z234i，则z1z2 ( ) 【导学号：31062210】 A8i B6 C68i D68i B z1z234i34i(33)(44)i6. 3复数(1i)(2i)3i等于( ) A1i B1i Ci Di A (1i)(2i)3i(1
3、2)(ii3i)1i.故选A. 4已知复数z3i333i，则z( ) A0 B6i C6 D66i D z3i333i， z(33i)(3i3)66i. 5已知向量1对应的复数为23i，向量2对应的复数为34i，则向量对应的复数为_ 解析 (34i)(23i)1i. 答案 1i 合 作 探 究攻 重 难 复数加减法的运算 (1)计算：(23i)(42i)_. (2)已知z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若z1z253i，则|z1z2|_. 解析 (1)(23i)(42i)(24)(32)i2i. (2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i
4、(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x5y)(3x4y)i53i， 所以 解得x1，y0， 所以z132i，z22i，则z1z21i， 所以|z1z2|. 答案 (1)2i (2) 规律方法 复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减). 跟踪训练 1计算： (1)(35i)(34i)_. (2)(32i)(45i)_. (3)(56i)(22i)(33i)_. 【导学号：31062211】 解析 (1)(35i)(34i) (33)(54)i6i. (2)(32i)(45i)(34)(25)i77i. (3)(56i)(
5、22i)(33i)(523)(623)i11i. 答案 (1)6i (2)77i (3)11i 复数加减运算的几何意义 (1)复数z1，z2满足|z1|z2|1，|z1z2|.则|z1z2|_. (2)如图322，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、32i、24i，试求 图322 所表示的复数，所表示的复数； 对角线所表示的复数； 对角线所表示的复数及的长度 解析 (1)由|z1|z2|1，|z1z2|，知z1，z2，z1z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|. (2)，所表示的复数为32i. ，所表示的复数为
6、32i. . 所表示的复数为(32i)(24i)52i. 对角线，它所对应的复数z(32i)(24i)16i，|. 规律方法 1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中. 2.常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OA
7、CB为正方形. 跟踪训练 2复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 【导学号：31062212】 解 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，如图 则(x，y)(1,2)(x1，y2) (1，2)(2,1)(1，3) ，解得，故点D对应的复数为2i. 复数模的最值问题 探究问题 1满足|z|1的所有复数z对应的点组成什么图形？ 提示：满足|z|1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上 2若|z1|z1|，则复数z对应的点组成什么图
8、形？ 提示：|z1|z1|，点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上 3复数|z1z2|的几何意义是什么？ 提示：复数|z1z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离 (1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是( ) A1 B C2 D (2)若复数z满足|zi|1，求|z|的最大值和最小值 (1)A 设复数i，i，1i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2, |Z1Z2|2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1.
9、 所以|zi1|min1. (2)如图所示， |2. 所以|z|max213，|z|min211. 母题探究：1.(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z34i|1”，求|z|的最大值 解 因为|z34i|1，所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是16. 2(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|1且zC，求|z22i|(i为虚数单位)的最小值 解 因为|z|1且zC，作图如图： 所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z22i|的最小值为|OP|121. 规律方法 |z1z2|表示复平面内
10、z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解. 当 堂 达 标固 双 基 1. a，b为实数，设z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为 ( ) 【导学号：31062213】 A1i B2i C3 D2i D z12bi，z2ai，z1z22bi(ai)0，所以a2，b1，即abi2i 2已知z12i，z212i，则复数zz2z1对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 B zz2z1(12i)(2i)1i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限 3计算|(3i)(12i)(13i)|_. 解析 |(3i)(12i)(13i)|(2i)(13i)|34i|5. 答案 5 4已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_. 解析 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数， 解得a1. 答案 1 5在复平面内，复数3i与5i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量，对应的复数及A，B两点间的距离. 【导学号：31062214】 解 向量对应的复数为(3i)(5i)2. ，向量对应的复数为 (3i)(5i)82i. A，B两点间的距离为 |82i|2. 6
