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1、3.2简单的三角恒等变换学习目标：1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点、易错点)自 主 预 习探 新 知半角公式(1)sin ，(2)cos ，(3)tan ，(4)tan，tan.基础自测1思考辨析(1)cos .()(2)存在R，使得cos cos .()(3)对于任意R，sin sin 都不成立()(4)若是第一象限角，则tan .()解析(1).只有当2k2k(kZ)，即4k4
2、k(kZ)时，cos .(2).当cos 1时，上式成立，但一般情况下不成立(3).当2k(kZ)时，上式成立，但一般情况下不成立(4).若是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan 成立答案(1)(2)(3)(4)2已知180360，则cos的值等于()ABC DC180360，90180，又cos2，cos .3已知24，且sin ，cos 0，则tan的值等于_3由sin ，cos 0得cos ，tan3.合 作 探 究攻 重 难化简求值问题(1)设56，cosa，则sin等于()ABCD(2)已知，化简：. 【导学号：84352339】思路探究(1)先确定的范围，再由sin2得算式求
3、值(2)1cos 2cos2，1cos 2sin2，去根号，确定的范围，化简(1)D(1)56，.又cosa，sin.(2)原式.，cos0，sin0，原式cos.规律方法1.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等2利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备(3)选公式：涉及半角公式
4、的正切值时，常用tan，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2，cos2计算(4)下结论：结合(2)求值提醒：已知cos 的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号跟踪训练1已知cos ，且180270，求tan .解法一：180270，90135，即是第二象限角，tan 0，tan 2.法二：180270，即是第三象限角，sin ，tan 2.三角恒等式的证明求证：sin 2.思路探究法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2不变，直接用二倍角正切公式变形证明法一：用正弦、余弦公式左边sincoscos sin cos sin 2右边，原式成立法二：用正切公式左边cos2c
5、os2tan cos sin sin 2右边，原式成立规律方法三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.跟踪训练2求证：. 【导学号：84352340】证明左边右边所以原等式成立.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合已知函数f(x)cos2sin xcos x
6、.(1)求f(x)的最小正周期(2)求证：当x时，f(x). 【导学号：84352341】思路探究解(1)f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以T.(2)证明：令t2x，因为x，所以2x，因为ysin t在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)sin，得证规律方法三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成yasin xbcos xk的形式，借助辅助角公式化为yAsin(x)k(或yAcos(x)k)的形式，将x看作一个整体研究函数的性质.跟踪训练3已知函数f(x)sin
7、2sin2(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k，即xk(kZ)，所求x的集合为.三角函数在实际问题中的应用探究问题1用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响2建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成yAsin(x)b的形式如图321所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OA
8、B的周长最大？ 【导学号：84352342】图321思路探究解设AOB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ，lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )RRsinR.0，0，sin .2(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在0，a是减函数，则a的最大值是()A BC DCf(x)cos xsin xcosx.当x0，a时，x，a，所以结合题意可知，a，即a，故所求a的最大值是.故选C.3函数f(x)sin2x的最小正周期为_因为f(x)sin2x，所以f(x)的最小正周期T.4设asin 2cos 2，b12sin213，c，则a，b，c的大小关系是_
9、. cabacos 60sin 2sin 60cos 2sin 62，b12sin213cos 26sin 64，csin 60，又ysin x在上为增函数，cab.5北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图323所示)如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，求cos 2.图323解由题意，5cos 5sin 1，所以cos sin .由(cos sin )2(cos sin )22，所以cos sin ，所以cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin ).10
