《2018年秋高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）学案 新人教a版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年秋高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）学案 新人教a版选修2-2（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标：1.了解复合函数的概念(易混点).2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点)自 主 预 习探 新 知1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)思考：函数ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？提示函数ylog2(x1)是由ylog2u及ux1两个函数复合而成的2复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导
2、数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积基础自测1思考辨析(1)函数f(x)是复合函数()(2)函数f(x)ln(1x)的导数是f(x).()(3)函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x()答案(1)(2)(3)2函数y的导数是()ABCDCy，y2(3x1).3函数y是由_三个函数复合而成的答案y，uv21，vsin x合 作 探 究攻 重 难复合函数的导数求下列函数的导数(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x. 【导学号：31062030】解(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2e
3、u2e2x1.(2)函数y可看作函数yu3和u2x1的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)4.(3)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x).(4)函数ysin3x可看作函数yu3和usin x的复合函数，函数ysin 3x可看作函数ysin v和v3x的复合函数yx(u3)(sin x)(sin v)(3x)3u2cos x3cos v3sin2x cos x3cos 3x.规律方法1.解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复
4、合而成2复合函数求导的步骤跟踪训练1求下列函数的导数(1)y103x2；(2)yln(exx2)；(3)y2sin；(4)y.解(1)令u3x2，则y10u，所以yxyuux10uln 10(3x2)3103x2ln 10.(2)令uexx2，则yln u，所以yxyuux(exx2)(ex2x).(3)设y2sin u，u3x，则yxyuux2cos u36cos.(4)设yu，u12x，则yxyuux(12x)u(2)(12x) .复合函数与导数的运算法则的综合应用求下列函数的导数(1)y；(2)yx；(3)yxcossin.解(1)(ln 3x)(3x)，y.(2)y(x)xx().(3
5、)yxcossinx(sin 2x)cos 2xxsin 4x，ysin 4xcos 4x4sin 4x2xcos 4x.规律方法1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.2.复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.跟踪训练2求下列函数的导数(1)ysin2；(2)ysin3xsin x3；(3)y；(4)yxln(1x). 【导学号：31062031】解(1)y，ysin x.(2)y(sin3xs
6、in x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.(3)y.(4)yxln(1x)xln(1x)ln(1x).导数运算法则的综合应用探究问题1若直线yxb与曲线yex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？提示：设P(x0，y0)，由题意可知y|xx0ex0，所以ex01，即x00，点P(0,1)由点P(0,1)在直线yxb上可知b1.2若点P是曲线yex上的任意一点，求点P到直线yx的最小距离？提示：如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近，则曲线yex在点P(x0，y0
7、)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为.(1)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()AB2C3D0(2)设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.思路探究(1)(2)解析(1)设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行y，y|xx02，解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线2xy 30的距离为d，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.(2)令yf(x)，则曲线yeax在点(0,1)
8、处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)2.因为f(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a2.答案(1)A(2)2母题探究：1.(变条件)本例(1)的条件变为“曲线yln(2x1)上的点到直线2xym0的最小距离为2”，求m的值解由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y|xx02，x01，即切点P(1,0)，2，解得m8或12.即实数m的值为8或12.2(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积解由题意可知，切线方程为y12x，即2xy10.令x0得y1；令y0得x.S1.规律方法本题正确的求出复合函数的导数是前提，
9、审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 当 堂 达 标固 双 基1函数y(x21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)nDy(t1)n，tx21答案A2函数y(2 0178x)3的导数y()A3(2 0178x)2B24xC24(2 0178x)2D24(2 0178x)2Cy3(2 0178x)2(2 0178x)3(2 0178x)2(8)24(2 0178x)2.3函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2xBy(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.4已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_.解析f(x)，f(1).答案5设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切求a，b的值解由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，此即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得a，故a0.7
