《2018-2019学年高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法 1.4.1 数学归纳法课件 北师大版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法 1.4.1 数学归纳法课件 北师大版选修2-2（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 数学归纳法,第1课时 数学归纳法,1.理解数学归纳法的原理. 2.掌握数学归纳法在证明与正整数有关的数学命题时的操作步骤. 3.掌握归纳、猜想、证明等探求数学问题的方法.,1.数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法. 2.数学归纳法的证明步骤与基本原理 (1)证明步骤: 验证:当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时,命题成立; 在假设当n=k(kN+,kn0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立. 根据可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. (2)基本原理:数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因为根据,验证了当n=1时命题成立;根
2、据可知,当n=1+1=2时命题成立.由于n=2时命题成立,再根据可知,当n=2+1=3时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,时命题成立,即命题对任意正整数n都成立.,A.1 B.2 C.3 D.4 解析:数学归纳法的基本思想是先验证使结论有意义的最小的正整数n0,而不是直接取n0=1,在这里使结论有意义的最小的正整数n为3,故选C. 答案:C,题型一,题型二,题型三,【例1】 证明12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN+). 分析:用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n怎样变化,即由n=k到n=k+1时,左右两边各增添哪些项.,题型一,
3、题型二,题型三,证明:(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1(21+1)=-3,故左边=右边,等式成立. (2)假设当n=k(k1,kN+)时等式成立, 即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立, 则当n=k+1时, 左边=12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+2(k+1)-12-2(k+1)2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2 =(2k+1)(k+1)-4(k+1)2 =(k+1)2k+1-4(k+1) =(k+1)(-2k-3) =-(k+1)2(k+1)+1, 故当n=k+1时等式成立. 根据(1)和(2),
4、可知等式对任意正整数n都成立.,题型一,题型二,题型三,反思用数学归纳法证明恒等式时,关键要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关.由n=k到n=k+1时等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.,题型一,题型二,题型三,变式训练1】 求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+). 证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=211=2,左边=右边,等式成立. (2)假设当n=k(k1,kN+)时等式成立, 即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1), 则当n=k+1时, 左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k
5、+k+1)(k+k+2) =2k13(2k-1)(2k+1)2 =2k+113(2k-1)2(k+1)-1=右边, 故当n=k+1时等式成立. 根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思解决此类问题的基本思路是:先从观察入手,发现问题的特点,以形成解决问题的初步思路,再用归纳的方法进行试探,提出猜想,最后用数学归纳法给出证明.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,错因分析:本题证明形式上是数学归纳法,实际不是.因为在第二步的证明过程中没有利用归纳假设
6、,而是直接利用等差数列的前n项和公式加以求解,这是不正确的. 正解:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立. (2)假设当n=k(k1,kN+)时,命题成立,即1+5+9+(4k-3)=k(2k-1). 则当n=k+1时,1+5+9+(4k-3)+(4k+1)=k(2k-1)+(4k+1)=2k2+3k+1=(2k+1)(k+1)=2(k+1)-1(k+1), 故当n=k+1时命题成立. 根据(1)和(2),可知命题对一切nN+都成立.,1 2 3 4 5,1用数学归纳法证明1+a+a2+an+1 ,验证当n=1时等式的左边为( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a
7、2+a3 答案:C,1 2 3 4 5,2.用数学归纳法证明12+32+52+(2n-1)2= n(4n2-1)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边增加的项为( ) A.(2k)2 B.(2k+3)2 C.(2k+2)2 D.(2k+1)2,答案:D,1 2 3 4 5,A.当n=k+1时等式成立 B.当n=k+2时等式成立 C.当n=2k+2时等式成立 D.当n=2(k+2)时等式成立 解析:因为假设n=k(k2,且为偶数),所以下一个偶数为k+2,故选B. 答案:B,1 2 3 4 5,4用数学归纳法证明关于正整数n的恒等式时,当n=k时,表达式为14+27+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,需证的表达式为 . 解析:当n=k+1时,应将表达式14+27+k(3k+1)=k(k+1)2中的k更换为k+1. 答案:14+27+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2,1 2 3 4 5,
