《2018-2019学年高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法 1.4.2 数学归纳法的应用课件 北师大版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法 1.4.2 数学归纳法的应用课件 北师大版选修2-2（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 数学归纳法的应用,1.巩固用数学归纳法证明数学命题的方法和步骤. 2.会用数学归纳法证明不等式问题、整除问题以及几何问题.,数学归纳法 (1)应用范围:作为一种证明方法,用于证明一些与正整数有关的数学命题; (2)基本要求:它的证明过程必须是两步,最后还有结论,缺一不可; (3)注意点:在第二步归纳递推时,从n=k到n=k+1时必须用上归纳假设.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思对于与正整数有关的不等式的证明,如果用其他方法证明比较困难,可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多地运
2、用不等式证明的其他方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设的联系是解决问题的突破口.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,a2+a+1【例2】 设aN+,nN+,用数学归纳法证明:an+2+(a+1)2n+1能被整除. 分析:用数学归纳法证明整除问题,一是注意分析出n=k时的假设式,二是注意通过分解因式凑出整除.,题型一,题型二,题型三,证明:(1)当n=1时, a3+(a+1)3=a+(a+1)a2-a(a+1)+(a+1)2=(2a+1)(a2+a+1), 故当n=1时,结论成立. (2)假设当n=k(k1,kN+)时,结论成立, 即ak+2+(a+1)2k+1能被a
3、2+a+1整除. 则当n=k+1时, a(k+1)+2+(a+1)2(k+1)+1=aak+2+(a+1)2(a+1)2k+1 =aak+2+(a+1)2k+1+(a+1)2(a+1)2k+1-a(a+1)2k+1 =aak+2+(a+1)2k+1+(a2+a+1)(a+1)2k+1. 因为ak+2+(a+1)2k+1和a2+a+1均能被a2+a+1整除,且aN+, 所以当n=k+1时,结论成立. 根据(1)和(2),可知原结论成立.,题型一,题型二,题型三,反思应用数学归纳法证明整除问题时,关键是“凑项”,采用增项、减项、拆项和因式分解等方法,也可以说将式子“硬提公因式”,即将n=k时的项从
4、n=k+1时的项中“硬提出来”,后面的式子相应变形,使之与n=k+1时的项相同,从而达到利用归纳假设的目的.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 用数学归纳法证明:对于任意非负整数n,An=11n+2+122n+1能被133整除. 证明:(1)当n=0时,A0=112+12=133,命题成立. (2)假设当n=k(k0,kZ)时命题成立,即Ak=11k+2+122k+1能被133整除,则当n=k+1时, Ak+1=11k+3+122k+3=1111k+2+122122k+1 =1111k+2+11122k+1+(122-11)122k+1 =11(11k+2+122k+1)+133122k
5、+1,能被133整除. 即当n=k+1时命题成立. 根据(1)和(2),可知对于任意非负整数n命题都成立.,题型一,题型二,题型三,【例3】 有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分. 分析:由n=k到n=k+1时,研究第(k+1)个圆与其他k个圆的交点个数问题.,题型一,题型二,题型三,证明(1)当n=1时,即一个圆把平面分成2个部分,f(1)=2,又当n=1时,n2-n+2=2,即命题成立. (2)假设当n=k(k1,kN+)时,命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.若将第(k+1)个圆记作O
6、,由题意,知它与k个圆中每个圆交于两点,又无三圆交于同一点,于是它与其他k个圆相交于2k个点.把O分成2k条弧,而每条弧把原区域分成2部分,因此这个平面的区域个数增加了2k个部分,即f(k+1)=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. 即当n=k+1时命题成立. 根据(1)和(2),可知命题对任何nN+均成立.,题型一,题型二,题型三,反思1.用数学归纳法证明几何问题,关键在于分析由n=k到n=k+1的变化情况,即分点(或顶点)增加了多少,直线的条数(或划分区域)增加了多少(或几部分)等. 2.几何问题的证明:一要注意数形结合,二要注意有必要的文字说明.,题型一,题型二,题型三,【
7、变式训练3】 平面上有n条抛物线,其中每两条都相交于两点,并且任意三条都不相交于同一点.求证:这n条抛物线把平面分成f(n)=n2+1部分.,题型一,题型二,题型三,证明:(1)当n=1时,即有一条抛物线,它把平面分成两部分,因为f(1)=12+1=2,所以当n=1时命题成立. (2)假设当n=k(k1,kN+)时,命题成立,即k条抛物线把平面分成(k2+1)部分. 则当n=k+1时,在k条抛物线的基础上增加了1条,按题目条件,新增加的这条抛物线与原来k条抛物线有2k个交点,2k个交点把新增抛物线分成(2k+1)段,各段把平面一分为二,所以平面增加了(2k+1)部分. 故f(k+1)=f(k)
8、+2k+1=(k+1)2+1,即当n=k+1时命题成立. 根据(1)和(2),可知命题对任意nN+都成立.,1 2 3 4 5,1用数学归纳法证明3nn3(n3,nN),第一步应验证 ( ) A.当n=1时不等式成立 B.当n=2时不等式成立 C.当n=3时不等式成立 D.当n=4时不等式成立 解析:由题知n的最小值为3,所以第一步验证当n=3时不等式成立,选C. 答案:C,6,1 2 3 4 5,2用数学归纳法证明 时,由n=k(k1,kN+)时不等式成立,推证n=k+1时不等式成立,左边应增加的项数是( ) A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 解析:增加的项数为(2k+1-
9、1)-(2k-1)=2k. 答案:C,6,1 2 3 4 5,3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是( ) A.假设n=2k+1(kN+)时命题正确,再推n=2k+3时命题正确 B.假设n=2k-1(kN+)时命题正确,再推n=2k+1时命题正确 C.假设n=k(kN+)时命题正确,再推n=k+1时命题正确 D.假设n=k(k1,kN+)时命题正确,再推n=k+2时命题正确 答案:B,6,1 2 3 4 5,6,1 2 3 4 5,解析:在从n=k推证n=k+1不等式成立时,必须用到归纳假设,而上述证法没有用归纳假设. 答案:没有用归纳假设,6,1 2 3
10、4 5,6,1 2 3 4 5,6,6.证明:对一切正整数n,5n+23n-1+1能被8整除. 证明(1)当n=1时,5n+23n-1+1=8,显然能被8整除,即n=1时,结论成立. (2)假设当n=k(k1,kN+)时,结论成立, 即5k+23k-1+1能被8整除,设5k+23k-1+1=8m,mN+, 则当n=k+1时,5k+1+23k+1=5(5k+23k-1+1)-43k-1-4=5(5k+23k-1+1)-4(3k-1+1). 而当k1,kN+时,3k-1+1显然为偶数,设为2t,tN+, 则5(5k+23k-1+1)-4(3k-1+1)=40m-8t(m,tN+),也能被8整除,故当n=k+1时结论也成立. 由(1)(2)可知对一切正整除n,5n+23n-1+1能被8整除.,
