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1、初中数学变式教学的实践研究一、 课题的提出本课题的研究起源可追溯到笔者在高中求学时。当时，笔者最喜欢的功课就是数学，我们的数学老师在课堂上的常用语是“比如说”。她在讲完一道题后，往往能再比如说出许多与之同类的数学考题，以提醒我们能触类旁通，举一反三，这样的数学教学方式使我们茅塞顿开，恍然大悟，学习效益大增。90 年大学毕业后，笔者被分配进宁海县城关中学，初出茅庐，教书育人只凭一腔热情，大搞题海战术，尽管学生中考数学成绩名列前茅，但师生俱累得心神俱疲。从 92 年开始一直到 2000 年，笔者一直担任初三数学教师，并担任校数学竞赛总教练。八年来，笔者做了几乎能收集到的全国各地中考题和竞赛题，慢慢
2、发现并总结出一些规律脉络。许多数学考题尽管历年都在不断变化发展，但无论怎样改革，都离不开历史数学题的继承.数学基础知识、基本技能、思想方法总是不变的，即“万变不离其宗”，只是在题目的立意、创设的情景、设问的角度中力求新颖和鲜活的变化.目前在教学一线的部分教师工作勤勤恳恳，一直以“熟能生巧”来鞭策自己，但事实给我们以极大的反差：许多我们认为让学生练熟的知识，在一次次考试中，只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的学生就无所适从。许多实例也表明，大量单一的、重复的机械性练习，达到的不是“生巧”，而是“生厌”，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣，这正是“题海战
3、术”的最大弊端。许多教师曾意识到此类问题，因此在课堂教学中频频提醒学生解题学习要触类旁通，懂一题会解一片。但究竟如何对数学问题进行举一反三，深入挖掘，充分演变，教师自己也很困惑。2002 年，宁海县教育局组织了第八届县教坛新秀评比，笔者作为主要评委之一，参与了笔试部分的命题工作，其中有一教学设计题，选自初一教材“在直线 t 同侧有两点 A、B，在直线 t 上找一点 P，PA+PB 最小，请你设计一教学方案，如何将此题向初三学生进行讲解，分析问题的引申、拓展与演变。”参与评比的青年教师均有较强的解题能力，但此题的得分较低，绝大部分教师无所适从，只能就题论题。这正反应出我们教师对数学知识的处理。比
4、较单一，没能将问题进行引申和一般化，不能演变，不能在各种不同的情况下，识别出数学问题的本质，从而不能使学生在参与中展示知识发展的过程，不能将所学知识归纳入自己的知识系统，获得更深刻、更广阔的理解。2007 年参加了省教育厅安排的“名师送教”活动，在台州玉环给全市数学教师主讲了在美丽的变式中领略数学的魅力学术报告，引起了全体教师的浓厚兴趣。2008 年受宁波市数学教研员沃苏青老师推荐，在市新华书店报告厅主讲了变式教学教案从二点间距离谈起的报告，引起了与会者的强烈反响，受到了一致好评。同时，课题在笔者名师带徒活动中也进行了长达四年的研究和实施，已取得了良好的实际教学效果。二、本课题的创新之处本课题
5、的研究与实践较以往的“变式教学研究”有更实在明显的教学效益。以往的变式教学更多地在理论上列举了一题多变、举一反三的教学与学习的优势，更多地立足于宏观教学理论上的探讨。本课题则立足于具体的教师课堂教学和学生解题训练的实际，具体研究了数学问题是如何演变和如何深入的途径，注重于数学问题演变的技术手段（1、图形内部结构的变式探究 2、几何图形形状的变式探究 3、对原题型的条件或结论的变式探究 4、原题数量关系的变式探究 5、因某一知识迁移的变式探究 6、增加试题层次的变式探究 7、转化设问方向的变式探究 8、纵横交错、信息互换的变式探究）。2004 年，我根据自己对数学变式教学的理解，写过两篇论文三角
6、形相似判定定理（1）的教学实录、习题演变的常见策略。文章得到了中国教育学会中学数学教学专业委员会的肯定，文章均在中学数学教育发表。特别是提供可供教师课堂教学与学生解题训练所用的经典变式问题。数学变式百例精讲是国内教学类书籍选题的首创（宁波出版社选题审题调研结论）。因此，本课题的研究成果具有更强的模仿性、可操作性、推广性。三、研究的依据随着科技、信息的高速发展，迫切要求中学数学教学不应仅局限于知识的传授，更应教会学生会学数学、会用数学，培养学生善于创新的精神。为此，探索并采用有效的教学策略和教学方法，形成实用高效的课堂教学模式，已成为中学数学教学研究和改革的重要内容。但是，长期以来，受“应试教育
7、”的影响，“掐头去尾烧中段”的“题海战术”不仅严重困扰着中学数学教学，而且已成为导致学生厌学，扼制学生学习主动性、针对性和探索创新精神的主要根源。如何解决这个问题？变式教学及其模式，也许是达到这一目的的一个有效途径。这种方法不但可应用于课堂教学，而且在数学课外活动中也具有更为广泛的价值，更是当前大力倡导的开展研究性学习的重要途径。变式教学以现代教育理论为指导，以精心设计问题、引导探索发现、展现形成过程、注重知识建构、摒弃题海战术、提高应变能力、优化思维品质、培养创新精神为基本要求，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径，遵循目标导向、启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新等教学原则
8、，深入挖掘教材中蕴涵的变式创新因素，努力培养学生的求异思维、创新意识和创造能力。1皮亚杰的认知发展理论认为，学习是一种能动的建构过程。学生认知结构的发展是在其认识新知识的过程中伴随着同化和顺应的认知结构不断再建构的过程，是在新水平上对原有认知结构进修延伸、改组而形成的新系统。学生只有通过积极自觉的认知活动，来激活大脑中的原有认知结构，使具有逻辑意义的新知识与认知结构中的旧知识发生相互作用（同化与顺应），才能实现内化中的再建构。2建构主义的数学教学观认为，学习是学习者主动的建构活动，而不是对知识的被动接受。真正的数学教学应具有如下几个特征：（1）在学习目标方面，表现为对知识的深层次的理解；（2）
9、在学习过程方面，表现为高水平的思维；（3）在学习的情境方面，表现为师生、生生之间的充分沟通、合作。教师应成为学习活动的促进者，在肯定学生主体地位的前提下，教师又应在教学活动中起主导作用。教师需要就学习内容设计出有思考价值的、符合学生认知发展水平的、具有挑战性的问题，创设平等、自由、相互接纳的学习氛围，充分开展师生、生生之间的交流与合作学习，引导学生通过持续的概括、分析、讨论、探索、假设、检验等高水平的思维活动，建构对知识的理解。3波利亚的数学教育思想源于两个基本观点：（1）数学具有二重性，即数学既有演绎科学，又是归纳科学。（2）人类的后代学习数学与人类的祖先认识数学的历史是相似的。据此，波利亚
10、创立了“数学教与学的三条原则”和“数学解题理论”。波利亚认为：学习任何东西的最好途径是自己去发现，为了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己去发现要学习的材料（主动学习原则）；学习材料的生动性和趣味性是学习的最佳刺激，强烈的心智活动所带来的愉快是这种活动的最好报偿，所有最佳学习动机是“学生应当对所学习的材料感兴趣，并且在学习活动中找到乐趣”（最佳动机原则）；学生必须学习有序，教师教学要有层次（阶段渐进原则）。随着新一轮课程改革的启动、新数学课程标准的颁布，新的教育理念也必将贯穿于教学实践，其中数学探究活动已成为贯穿整个初中数学课程始终的重要内容数学探究活动能促进学生将原有知识和新知识
11、有效地组合和沟通，使学生获得深切的感受与体验数学变式的研究能帮助学生养成良好的质疑、多思的学习习惯，提高类比推理的思维能力，点燃创新思维的火花而“变式教学”和“变式训练”，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通关节，建构有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，使思维在所学知识中游刃有余、顺畅飞翔用继承和发展的观点进行反思牞我们传统的教学确实存在着缺乏培养创新精神和探究能力的现象现在，我国在校学生中不乏解题高手，我国选手历年参加国际奥林
12、匹克数学竞赛，都取得了优异成绩，但在创造性地提出新问题、建立新理论方面都落后于国际平均水平美籍华裔学者蔡金法先生曾对中美学生的数学能力做过一次调查在第九届世界数学大会上，他介绍了自己的调研结果：中国学生的计算能力和解决简单问题的能力方面，比美国学生好；在比较复杂、过程或结论具有开放性的数学问题和创造性地提出问题方面，美国学生的平均成绩比中国学生好在实际课堂教学中也是如此，在课上、课下敢于提出和能够提出较新的、有一定深度和广度的数学问题的学生寥寥无几所以我国传统的教学方式较难培养学生潜在的创新意识与创新能力，学生大多只停留在解决理解前人留下的东西，解决前人留下的疑问，即为解题，从未想过“越雷池一
13、步”，缺乏因旧问题的解决而激发新问题产生的能力，即问题的演变。其实，一种新的教学理论，只靠严谨的逻辑演绎是无法推导的，必须加上生动的思维再创造。数学理论发展的历史证明，人们的直觉和“灵光一闪”的顿悟，往往已经得出了整个新理论的百分之七十，剩下的百分之三十则是逻辑与验证。数学史上冠以某数学家名字的猜想、定理、法则，往往并无逻辑证明，逻辑推演是今人补做的，但人们仍把功劳归于提出新问题的首创者，英国富豪出百万美元悬赏“哥德巴赫猜想”的验证，仅仅是在已构造的理论大厦上添砖加瓦。四、研究的构想（一）概念间界定变式教学是指相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基础知识、知识结构、典型问题、思维
14、模式等）的变式形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。变式有多种形式，如“形式变式”、“内容变式”、“方法变式”等。变式是模仿与创新的中介，是创新的重要途径。变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径。通过变式方式进行技能与思维的训练叫做变式训练；采用变式方式进行教学叫做变式教学。变式教学要求在课堂上通过变式展示知识的发生、发展、形成的过程，因此，变式教学有利于培养学生探究问题的能力，是“三”基教学、思维训练和创新能力培养的重要途径（二）研究目标1、通过变式教学，解决如何优化学生教学思维素质的问题。2、通过变
15、式教学，解决如何使学生贯通教学思想到问题。3、通过变式教学，解决如何培养学生学习兴趣，提高教学效益，真正达到“轻负高质”的问题。（三）研究的思路笔者从 1998 年就开始了对本课题的研究与实际开展工作，并且已经积累了丰富的教学经验和相应的教学理论素养。从 2003 年起在县教育局名师带徒中所带动徒弟中进行实践教学试点实验，先给徒弟们灌输变式教学的理论，传授笔者在实际中所积累的经验，并提供相应的教学资料，引导徒弟中积极开展变式教学课题的实施。从而在桃源中学数学组全面展开本课题的实施工作，边实践、边摸索，边总结，以期达到预期的研究目标。（四）研究的步骤1、研究的方法：不同学校实验学生成绩对比分析法
16、。同校平行班成绩对比分析法。个体调查法。2、研究的步骤：准备阶段：1996 年 9 月1998 年 11 月，查阅与之相关的资料，学习有关理论，确定研究方向，制订研究计划。研究阶段：第一期 1998 年 12 月2003 年笔者执行研究计划。第二期 2003 年2008 年，桃源中学、西店中学、城关中学、跃龙中学各设两班试点执行研究计划。总结阶段：2006 年 8 月2008 年 10 月。分析积累的数据和资料，总结提炼完成课题，撰写报告。五、研究的操作策略（一）、培养数学问题演变能力的策略著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”教师教授数学问题时，培养学生思考问题、解决问题的目的是培养探索解决问题途径的能力，探索新事物的学习精神，提出更一般的、更广阔的、更深刻的新问题和建立新理论。那么如何培养学生针对旧问题而提出新问题（问题演变）的能力？1、夯实基础，沟通联系数学基础知识，
