机械信号分析-z变换

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1、第二章,1,时域：,复频域：,2.3 Z变换的定义,Laplace 变换,第二章,2,所以,Fourier 变换,频域：,所以，傅里叶变换是 仅在虚轴上取 值的拉普拉斯变换。,因为,第二章,3,对离散信号，可否做拉普拉斯变换,？,令：,第二章,4,则：,关系 ？,第二章,5,离散时间序列的傅里叶变换， DTFT,第二章,6,第二章,7,频率轴定标,第二章,8,例1：求序列 x (n)= an u(n) 的Z变换。,解：,为保证收敛，则,收敛域,Z平面,若 a = 1, 则,第二章,9,例2：,第二章,10,ROC:,第二章,11,注意：,第二章,12,Z变换的定义,例3：求序列 x (n)=

2、(1/3)|n| 的Z变换。,解：,|z|1/3时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。,|z|3时，第一项收敛于 ，对应于左边序列。,第二章,13,1.,ROC：,右边有限长序列,第二章,14,3.,4.,5.,ROC:,右边无限长序列,ROC：,左边无限长序列,ROC:,双边无限长序列,思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？,第二章,15,Z变换的收敛域,Z变换的收敛域,对于任意给定的序列 ，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 的收敛域。,其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：,根据级数收敛的阿贝尔定理,对于不同的序列 ，可求得相应的收敛域。,第二章,16,Z变换的收敛域,收敛域内不包

3、含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大，Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+ |z|0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+ |z|也位于收敛域内。,第二章,17,如果是左边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， 0|z| 的全部 z 值也位于收敛域内。,所以，收敛域在圆内。,如果是双边序列，收敛域由圆环组成。,Z变换的收敛域,第二章,18,逆Z变换,逆Z变换,从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。,逆Z

4、变换的三种基本方法 围线积分法 部分分式展开法 长除法（幂级数展开法）,围线积分法,式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。,第二章,19,逆Z变换,是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点 是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点,第二章,20,逆Z变换,在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。 例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。,如果 为单阶极点，按留数定理:,如果 为 阶极点，则其留数为:,第二章,21,解:,例1:,逆Z变换,第二

5、章,22,逆Z变换,例2：,解：,|z|=|a|,围线C, 所给收敛域 为环域 原序列 必为双边序列,|z|=|1/a|,在收敛域内作包围原定的围线C,第二章,23,逆Z变换,当 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：,当n0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有:,第二章,24,部分分式展开法,逆Z变换,1、单极点,若序列为因果序列，且NM，当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：,则其逆Z变换为：,第二章,25,逆Z变换,说明：1、X(z)较简单时可按算术展开

6、求各系数Ak(k=0,1,N) 。 2、X(z)较复杂时可按留数定理求各系数Ak(k=0,1,N)，此时为了方便通常利用X(z)/z的形式求取：,第二章,26,逆Z变换,2、高阶极点,当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修改为：,式中Bk(k=0,1,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：,第二章,27,逆Z变换,例： 已知 ，求X(z)的原序列。,解：,由求系数Ak的公式求得,因为X(z)的收敛域为 ，为因果序列， 从而求得,将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式,第二章,28

7、,逆Z变换,长除法（幂级数展开法）,若把X(z)展开成z-1的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列 x(n) 的值。,典型例题,第二章,29,由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。,例:,解：,即：,逆Z变换,第二章,30,逆Z变换,例:,收敛域 为环域， x(n)必为双边序列。,解：,对右边序列,右边序列为:,对左边序列,左边序列为:,综上可得:,第二章,31,逆Z变换,例:,求 的逆Z变换。,由收敛域 知原序列应为因果序列。,的幂级数展开式为,解：,第二章,32,第二章,33,线性性,Z变换的性质与定理,序列的移位,序列乘指数序列（尺度性）,

8、返回,返回,第二章,34,Z变换的性质与定理,序列的反褶,序列的共轭,Z域微分性,返回,第二章,35,Z变换的性质与定理,卷积定理,返回,第二章,36,Z变换的性质与定理,序列相乘（复卷积定理）,Parseval定理,返回,第二章,37,Z变换的性质与定理,第二章,38,典型例题,求序列 的z变换， 并确定其收敛域。,解：,例 1,线性性,查看性质,第二章,39,求 的z变换和收敛域。,解：,例 2,典型例题,查看性质,序列的移位性,第二章,40,典型例题,查看性质,例3,解：,X(z)对z进行微分：,Z域微分性,逆Z变换,第二章,41,典型例题,查看性质,例4,用卷积定理求,解：,卷积定理,

9、逆Z变换,第二章,42,典型例题,查看性质,例5,用复卷积定理求,解：,复卷积定理,第二章,43,典型例题,查看性质,在v平面中，被积函数有2个极点，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域为：,可见，只有一个极点v2=b在围线C内。由留数定理求得：,第二章,44,Z变换与拉氏变换的关系,S平面到Z平面的映射,映射关系：,第二章,45,Z变换与拉氏变换的关系,由于 是 的周期函数，S平面每增加一个宽为2 /T 的水平条带时，对应于Z平面从- 到+ 旋转了一周。这样就有：,即S平面的整个虚轴都映射到了Z平面 =1 的单位圆上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,这

10、些关系示于下图示：,第二章,46,抽样序列的Z变换表示,Z变换与拉氏变换的关系,抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上 的特例，按照前面的SZ平面的映射关系，它映射到Z平面 =1 的单位圆上，故有,或,定义：Z平面的角变量 ，称为数字频率，单位为弧度。,第二章,47,系统函数,系统函数与系统的频率响应,本节将以系统函数和传输函数为核心来研究系统的变换域分析方法，它们分别是h(n)的Z变换和傅立叶变换。,1、系统函数：若系统单位脉冲响应为h(n)，则线性时不变离散系统零状态响应的输入输出关系为：,两边取Z变换得,称H(z)为线性时不变离散系统的系统函数，它是单位脉

11、冲响应的Z变换 ，即：,第二章,48,2、系统的频率响应（传输函数）,传输函数,若给系统输入单频率的复信号 ，则系统的输出为：,物理意义,结论：当输入为一个单频率的信号时，输出亦为同一频率的信号，但其幅度与相位都因为 的加权而发生了变化，且 的值是随频率的变化而变化的。,第二章,49,系统的因果性与稳定性,系统函数,H(z)有2个极点， 和 ，给定的收敛域为 ，包括无穷远点，故系统为因果系统。但收敛域不包括单位圆，因此系统是不稳定的。,解：,第二章,50,系统函数,若将收敛域改为 ，这时，收敛域包括单位圆，但不包括无穷远点，此时系统稳定但非因果。实际上这时系统的单位脉冲响应为 ，显然不是因果的

12、。,该例表明:同一个系统函数，如果收敛域不同，系统的特性是完全不同的。由于任何物理可实现系统都必定是因果的，对于这种非因果但稳定的系统，有时可采用将单位脉冲响应截取一段后保存在存储器中，通过延时使之变成因果系统来近似实现。,第二章,51,系统函数,第二章,52,离散时间系统的Z变换解法,零状态响应的解法,当输入x(n)为因果序列时，线性时不变离散系统的常系数差分方程描述为：,在系统初始状态为零，即y(n)=0(n0)时，对上式两边取双边Z变换，由Z变换的移位特性并经整理可得：,由卷积定理，当x(n)给定时就可由下式求得响应：,第二章,53,离散时间系统的Z变换解法,初始状态不为零的解法,经整理

13、得到：,第二章,54,典型例题,对差分方程两边作单边Z变换得：,收敛域为 。求逆Z变换得：,例：,解：,零输入响应,零状态响应,第二章,55,系统函数的零极点与频率响应,极零点,对其进行因式分解得：,H(z)的零点,H(z)的极点,系统的频率响应,对于稳定系统，其极点应全部位于单位圆内，或单位圆包括在收敛域内，其傅立叶变换存在。将 代入H(z) ，得到系统的频率响应：,第二章,56,极零点分布与系统的频率响应,系统函数的零极点与频率响应,第二章,57,系统函数的零极点与频率响应,系统的频率响应特性,第二章,58,系统函数的零极点与频率响应,由幅频特性可知：当频率点变到极点附近时，Pk就变小，就

14、会在该极点附近的频率出现峰值，极点越接近单位圆，峰值就越尖锐；同样，当频率点变到零点附近时，Qk就变小，就会在该零点附近的频率出现低谷，当零点在单位圆上时，该零点就是传输零点。可见在单位圆附近的零极点对系统的幅频特性有较大的影响。零点可在单位圆内外，但极点只能在单位圆内，否则系统将不稳定。而系统的相位响应对幅度特性没有影响。,第二章,59,典型例题,例：,系统的传输函数为：,当ej在单位圆上从=0逆时针旋转一周时：在=0处，极点到单位圆的距离最短，=0频率点幅度最大，成为波峰；在=时，极点到单位圆的距离最长，在=频率点幅度最小，成为波谷；在原点处的零点，对幅度特性没有影响。,解：,极点为 ，零

15、点为,第二章,60,典型例题,系统频响特性为低通特性,第二章,61,系统的分类,IIR系统和FIR系统的定义,根据离散时间系统的单位脉冲响应h(n)在时域中的长度可将其分为两种类型： 当h(n)的长度为无限长时称为无限长脉冲响应系统，简称为IIR系统。 当h(n)的长度为有限长时称为有限长脉冲响应系统，简称为FIR系统。,通常可以根据系统函数的零极点来判断系统是IIR系统还是FIR系统。,第二章,62,系统的分类,无限长单位脉冲响应（IIR）系统,可见输出不但与输入有关，还与以前的输出及其加权值有关，即系统中存在着输出对输入的反馈回路。这种结构常被称作为递归结构，在求解差分方程时需采用迭代的方法。,第二章,63,有限长单位脉冲响应（FIR）系统,系统的分类,对于FIR系统，它的h(n)为有限长，若已知输入x(n)，可通过卷积直接算出输出y(n)。 例如假定h(n)取值范围为0nN-1 则:,