《环境流体力学第二章分子扩散》由会员分享，可在线阅读，更多相关《环境流体力学第二章分子扩散（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 分子扩散,静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微粒也作不规则的运动，这个现象早已在1826年为布朗的著名实验证实。分子运动称为布朗运动,除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一原因外，它还存在于一切流动的水体中。,第一节 费克定律,一、费克定律,费克（Fick）扩散（分子扩散）： 由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散,第三节 费克定律,费克定律： 1855年德国生理学家费克（Fick）提出 静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过单位面积的扩散输送的物质与该方向的浓度梯度成正比。各向同性的介质。,式中：Q是单位时间通过单位面积的扩散物质，也称
2、为通量；C是扩散物质的浓度。 :x方向的浓度梯度。 D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为L2T-1 一般约为10-610-5cm2s-1 。,用等号,一维费克扩散示意图,对一维扩散，费克定律可表示为：,费克定律第一定律,第三节 费克定律,公式中的负号,三维的费克定律:,哈密顿算子,说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散,费克定律第二定律,一滴红墨水在玻璃杯中的扩散,分子的扩散系数D与介质与物质本身的特性有关，又与温度和压力有关。,第三节 费克定律,某些物质在水中的分子扩散系数（ cm2s-1，水温为20）,D值由实验确定，D值大，扩散快；反之，扩散慢。,第三节 费克定律,单位时间进入x面
3、的扩散质通量为：Q(x,t) 从(x+x)面出去的通量为:,设c(x,t)是时刻t位于x处上扩散质（溶质）的浓度。在该控制体积内扩散质对时间的 变化率为：,第二节、分子扩散方程的推导(单纯扩散）,一维为例,第四节 分子扩散方程,一维输移的控制体：两个具有单位面积的平行面与x轴垂直,变化量：,根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量-流出的污染物质=污染物质量对时间的变化率相等，即:,Fick定律：,如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。,二阶
4、线性抛物型偏微分方程,第四节 分子扩散方程,推广到三维： 故有,用直角坐标表示,时变项,分子扩散项,扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现,第四节 分子扩散方程,Fick定律：,在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。,在扩散特性各向异性的液体中,第三节 一维扩散方程的基本解,& 扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）。 & 解的形式：解析解、数值解。 & 污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源、不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源，只是一种近似处理。 & 污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排放）。 & 瞬时源是指污染物在瞬时内排放
5、入水域，实际上一种近似，如热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。 & 连续源又分为恒定和非恒定源。 & 污染物扩散：根据水域是几维，对应一维、二维、三维扩散方程。,第五节 一维扩散方程的基本解,第三节 一维扩散方程的基本解,第五节 一维扩散方程的基本解,集中投入的情况，在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M的扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布，这是扩散方程的最基本的解。 是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条件下的解。,第三节 一维扩散方程的基本解,第五节 一维
6、扩散方程的基本解,瞬时单位平面源的扩散 瞬时源：t=0时，在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质。 1、一根无限长断面均匀的直水管，截面积是一个单位 2、垂直管轴，瞬时投入一包含质量M的薄片红色染液 3、染液薄片充满了整个断面 4、染料只沿长度方向扩散 令染液投入点为坐标原点,瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的解析解。定解条件在数学上表达为：,c(x,0)=M(x),狄拉克（Dirac） 函数,当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上，污染物质量 为M,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间,（2）边界条件：,c(,t)=0, c(,t)/x=0,（1）初始条件：
7、,一维分子扩散方程：,1.定解条件,第五节 一维扩散方程的基本解,M(x)表示质量M集中于微小容积内。相对概念。例如把一小桶颜色水倾注到大河里，可以认为起始浓度集中于微小体积内。,物理含义：,2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法,量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。,定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有量纲的物理量，如果选择其中m
8、个作为基本物理量，那么该物理过程可以由(k+1)-m个无量纲数所组成的关系来描述。,第五节 一维扩散方程的基本解,式中:f为待定函数，在上式中写上4和4，目的是使最终的解较为简明; M是全部污染物的质量，量纲是M,假设有函数： F(c,M,D,x,t)=0 方程线性,利用定律，选c、D、t为基本变量，可得：,从物理概念上分析，浓度c是M、D、x、t的函数,第五节 一维扩散方程的基本解,一维 扩散中，浓度的量纲 ML-1,浓度c应与M除以某一特征长度成正比。 是一个合适的特征长度,进一步令 ，有:,。,边界条件由原来的c(,t)=0, c(,t)/x=0,f()=0，df()/dh=0,以f的边
9、界条件代入上式得k1=0，故上式变为:,第五节 一维扩散方程的基本解,设变量,进一步令 ，有:,即=常数k1,因此有：,它的通解为：,确定待定函数f,为任何时刻源点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）,根据污染物质的质量守恒定律，有,对上式分别通过求t0、 x0和t0（x0）的极限，可得到c =和c =0，这说明了该解也是满足初始条件的。此外，上式虽然是对x0的定解条件求解，但也可用于x0情形。,推出k0=1,第五节 一维扩散方程的基本解,瞬时点源一维无界空间的浓度分布,瞬时点源一维无界空间的浓度场在任一时刻t沿x轴是正态分布，随时间t的增加，浓度的峰值Cm变小，而扩散的范围变宽，分布曲线趋于平
10、坦。,第五节 一维扩散方程的基本解,浓度分布符合正态分布（即高斯分布）,污染源点和坐标原点重合的情况,1、 浓度对距离的各阶矩定义,零阶矩,一阶矩,二阶矩,对原点的任意p阶矩,对瞬时点源来说，零阶矩 M0=全部扩散质的质量，对任意时刻M0是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。,各式的右端可供当具有实验资料时，计算浓度各阶矩之用。,第四节 浓度分布的各阶矩,第六节 浓度分布的各阶矩,2、 浓度分布的统计特征值 （1）浓度分布的距离均值（数学期望）,表示浓度分布曲线重心距x坐标原点的水平距离，当曲线对称于c轴时x=0。,（2）浓度分布的距离方差2,表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大
11、，分布曲线愈平坦。,第六节 浓度分布的各阶矩,质量中心坐标x,对于正态分布曲线（标准）有：,将瞬时点源的解代入M2，得距离方差：,对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件：,或,仍存在,上式表明 方差与扩散历时t成正比。凡符合这个规律的扩散，都称为费克型扩散。,第六节 浓度分布的各阶矩,曲线的分布区间-2 ,2 ,占总面积的95%,源与坐标原点不重合,源与坐标原点重合,m-2s , m+2s ,证明此结论,（3）三阶中心矩,表示曲线偏斜度： =0 左右对称; 正态分布 0左右不对称，长尾伸向正轴方向； 0，长尾伸向负轴方向。,=0,0,0,图 对浓度分布图形的影响,第六节 浓度分布的各
12、阶矩,偏态系数,（4）四阶中心矩,表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示峰型愈大。,第六节 浓度分布的各阶矩,2、对静止和动水环境中射流的一些基本原理、基本规律的研究现状。,源与坐标原点重合时，浓度曲线的分布区间-2s,2s范围内，分布曲线与x轴所围面积占总面积的95%。,1、证明此结论,作业,第五节 一维扩散方程的若干定解条件下的解,设只当t =0时在x=处投放污染物质（瞬时点源） 初始条件：c(x,0)=M(x-) 边界条件：c(,t)=0,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,如果示综物质M不是集中到一处，而是非均匀地分布在一定范围上同时瞬时投放，这就是瞬时投放源，这种情况可考虑
13、为若干个瞬时集中源的迭加，按迭加原理求解。,现将初始条件改为： c(x,0)=f(x), -x 其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长直线上给定的浓度为f()，d微小长度上投放示踪质的质量为M=f()d。,位于处由该微小污染单元的扩散而导致在时刻t位于x的浓度应为:,用一系列质量为f()d的团块来求浓度分布,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,下面讨论f()为常数的两种特殊情况：,单侧阶梯浓度函数的浓度分布,1.当f(x)为阶梯函数：,该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面管（渠）的静水中，左端（x0）为清水，现闸门突然打开，左边的污染物质向右边扩散。解的形式为：,
14、第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,t=0时,取变换,式中：erf(z)为z的误差函数，erfc(z)为z的余误差函数，即,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,误差函数的值可查误差函 数数值表或计算软件得到,误差函数的定义:,从而有：,余误差函数的定义:,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,000,误差函数的计算是把被积函数展开为麦克劳林级数，然后逐项积分,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,取变换=x-,有,该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠（管）的静水中，突然发生事故，在渠中出现一段污染源而向两端扩散的情形。解的形式为：,2.当f(x)为阶梯函数：,x=
15、0,x=x1,x=-x1,初始浓度分布图,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,再取变换 ,有,t=0时,双侧阶梯浓度函数的浓度分布,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,随着 增大，浓度分布曲线愈平坦化。,第六节 一维扩散方程的时间连续源的解析解,一、时间连续点源,在流场的某一点上，连续不断地投入浓度为c0（常数）的污染物质，即时间连续恒定点源。,如果一维扩散区域无限长，则可将投放点位置取为坐标原点，初始条件c(0,t)=c0 在x=0处浓度突然从零增加到c0，以后保持不变， 无限边界条件c(,0)=0 初瞬时t=0，沿x轴各处的浓度均为零 本问题的解也是一个有用的基本解，可以用来构
16、造其他某些问题的解。,第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解,1、点源处给定投放浓度,第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解,边界条件为f(0)=1,f()=0,显然有c(-x,t)=c(x,t),解对称于原点，只需沿x正向求解。,借助量纲分析法来求解浓度分布c(x,t) 显然，c与c0,D,x和t有关，利用定理,选 c、D和t为基本变量，可得如下关系式：,式中：f是某一待确定的函数。令 ,有,二阶变系数齐次常微分方程,代入扩散方程,等强度连续点源的浓度分布,1、点源处给定投放浓度问题的解,在任一时刻t总的浓度是t以前全部时段内浓度分布的总和，由上式通过积分可得的解：,用于求解浓度c0(t)的迭加法,第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解,更一
