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1、计算机数学基础(下) 第5编 数值分析,第12章 数值积分与微分,本章主要内容：,代数精度 牛顿科茨公式 高斯求积公式 高斯勒让德求积公式 数值微分 重点：牛顿科茨公式、梯形公式、抛物线公式、高斯求积公式 难点：科茨系数、高斯点,12.1 数值积分与代数精度,12.1.1 数值积分 在一元函数的微积分中，导数和定积分都是通过 极限来定义的。 从理论上说求 在 上的定积分，通过分割、 近似、求和，取极限四步可得到定积分的精确结果， 在数值积分中只需通过前三步求出积分的近似值即可。,根据这一原理，我们可以在 内取若干节点 那么 但这样计算精确程度可能很差，为了提高精确 度我们可以选取适当的系数 来
2、代替 。 则 ， 这就是数值积分公式。 显然求积系数 的选取和求积节点 的选取有关。,12.1.2 代数精度 若 对于任意不高于m次的 多项式都准确成立，而至少有一个m1次多项式不 成立，则称该求积公式具有m次代数精度。 例1 考察求积公式 具有几次代数精度。 解：考察 为零次多项式的情况。例如 左边 右边 公式成立，,再考察 为一次多项式时的情况，取 左边 右边 公式也成立， 再考察 为二次多项式时的情况，取 左边 右边 公式不成立， 所以，该求积公式具有一次代数精度。 分别取 是我们验证代数精 度常用的方法。,例2 选取适当的系数，使求积公式具有尽可能高的 代数精度。 解：令 ，左边 右边
3、 显然成立 令 ，左边0 右边 于是有 令 ，左边 右边 于是有 解 ，消元后得 解得,12.2 等距节点的求积公式 （牛顿科茨公式）,12.2.1 公式推导 设 在区间 上连续，将 n等分，记 称为步长，则分点 用拉格朗日插值多项式 近似替代,（上式分子中没有 ，分母中没有 ） 现在我们以 换元，则 （分子中没有 ，分母中没有 ） 考察分母,若记 称为科茨系数 该公式称为n阶牛顿科茨公式,科茨系数 具有下列性质： 性质（1） （归一性） 性质（2） （对称性） 常见的科茨系数表见 P.119 需记住的有： 当n1时， 当n2时， 当n3时，,2001年7月试卷选择题4 当n3时，科茨系数,C
4、,2002年1月试卷填空题10 已知当 n4 时,科茨系数为： 等分区间 ，分点为 那么科茨求积公式是 ,12.2.2 常见的牛顿科茨公式 1。梯形公式 当 n=1 时 称为梯形公式 。,2。复化梯形公式 将 n等分，在每一个子区间 上用梯 形公式有： 则 称为复化梯形公式 。,2002年1月试卷填空题9 用梯形求积公式计算积分,2001年7月试卷计算题13 (1) 用复化梯形公式计算积分 ，计算过程保留 4位小数，其中 的值由下表给出。 解：h=0.2,3。抛物线公式(辛普森公式) 当 n=2 时 三个节点为,4。复化抛物线公式 设 在区间 上连续，将区间 分成 n2m等分，在区间 上用抛物
5、线公式有：,P128（B）2 当n4时，复化抛物线求积公式 解：当n4时， 课本上没有正确答案。把 B）的分母改成12才是正 确答案，在中央电大的作业上已经改过来了。,5。科茨公式 当 n=4 时 作业： P.128 带的练习题,12.2.3 牛顿科茨公式的截断误差 梯形公式的截断误差为： 如果用2表示 在a,b上的最大值 复化梯形公式的截断误差为：,抛物线公式的截断误差为： 如果用4表示 在a,b上的最大值 复化抛物线公式的截断误差为： 科茨公式的误差为：,12.3 高斯求积公式,12.3.1 高斯求积公式和高斯点 考察两个点的求积公式： 它可以是： 具有1次代数精度， 也可以是： 具有3次
6、代数精度。 它表明，有n+1个节点的求积公式 最高可以具有2n+1次代数精度。 这类求积公式称为高斯求积公式。,当求积公式： 具有2n+1次代数精度时，其n+1个节点 称为高斯点。 这样的求积公式对于一切次数不超过2n+1次的多 都能精确成立，关键问题是哪些节点是高斯点，各节 点对应的系数 是多少。 下面，我们就给出求高斯点的公式： 高斯勒让德公式。,12.3.2 高斯勒让德公式 通过变量替换 ，我们可以把积分 区间从a,b变换成-1,1， 当t在-1,1间取值时， 的值在a,b间 把以t为变量的积分值乘以 ，就得到以x为变量 在区间a,b上的积分值。 因此，我们可以在区间-1,1内寻找高斯点
7、。 在区间-1,1上的求积公式称为高斯勒让德公式：,勒让德多项式： 的零点就是在区间-1,1内的高斯点。 注意：这里的n指的是在区间-1,1内节点的个数， 而不是下面求高斯求积公式的代数精度时所说的n。 n1， n2， n3，,选取适当的系数。就可得到高斯求积公式： 1个节点时， 具有1次代数精度。算代数精度时的n0。 2个节点时， 具有3次代数精度。算代数精度时的n1。 3节点时， 具有5次代数精度。算代数精度时的n2。,例2 用两个节点的高斯勒让德求积公式计算积分 解：取 ， n1，具有3次代数精度。,例3 用高斯勒让德求积公式计算 使其具有5次代数精度。 解：2n+15，n2，用3个节点
8、的高斯勒让德公式,12.4 数值微分,本书中求数值微分的方法称为插值型求导公式。 它的思路是：利用已知的函数值 ，用 等距节点的插值多项式Pn(x)作为f(x)的近似，然后 对Pn(x)求导，得到f(x)。 我们知道，两点的插值函数为： 若两个节点用 表示，并记,两节点的导数为： 三点的插值函数为： 若节点用 表示，并记,分别取 代入，得三节点处的求导公式 该公式比较复杂，不要死背硬记，那样很容易忘 记。要寻找系数中的规律进行记忆。,例1 已知数据为 用三点公式求 解：,2002年1月试卷选择题4 已知当 时的函数值 ，则,B,2001年7月试卷计算题13(2) 设函数值表为 取步长h=0.2
9、，计算f(2.7)的近似值，计算保留4位小数。 解：步长h=0.2，计算f(2.7)，只能用x=2.5,2.7,2.9计算,本课小结： 1 高斯勒让德公式是建立在区间-1，1上的数值积分公式。对于积分区间是a，b的数值积分，可通过变量替换 ，化为-1，1上的数值积分。 2 高斯点的求法是求勒让德多项式的零点。勒让德多项式是 。要注意的是该公式里的n表示的是高斯点的个数，而不是求高斯求积公式的代数精度时所用到的n。,1 一个高斯点的求积公式是 ， 两个高斯点的求积公式是 ， 三个点的求积公式是 ， 2 求高斯求积公式的代数精度时，n高斯点数，它具有2n1次代数精度。 3 等距节点的两点求导公式是：,4. 等距节点的三点求导公式是： 作业： P.133、P.137、P.143 带的练习题,
