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1、推理与证明,推理,证明,言之有理，论证有据！,第二章 推理与证明,类比推理,归纳推理,福尔摩斯,狄仁杰,4.北军不善水战,1.今夜恰有大雾,2.曹操生性多疑,3.弓弩利于远战,草船借箭必将成功,我们来推测诸葛亮“先生”的推理过程:,佛教百喻经中有这样一则故事。 从前有一位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉他:“要甜的,好吃的,你才买.“仆人拿好钱就去了.到了果园,园主说:“我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝一个看.,第一个芒果是甜的,第二个芒果是甜的,第三个芒果是甜的,这个果园的芒果都是甜的,每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域着上不同色.,四色猜想,1852年，英国
2、人弗南西斯格思里为地图着色时，发现了四色猜想.,1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明.,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。,一、推理定义 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.,推理,10 37 20 317 30 1317,引入1.数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想,哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现,铜能
3、导电 铝能导电 金能导电 银能导电,一切金属都能导电.,三角形内角和 为 凸四边形内角 和为 凸五边形内角 和为,凸n边形内角和为,部分 个别,蛇类是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的 海龟是用肺呼吸的 蜥蜴是用肺呼吸的,爬行动 物都是 用肺呼 吸的,整 体 一 般,引入2：,由某类事物的 具有某些特征, 推出该类事物的 都具有这些特征 的推理,或者由 概括出 的推理,称为归纳推理(简称归纳).,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,二、归纳推理,注意：（1）归纳是由部分到整体,从个别到一般的推理. （2）归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论.所以结论未必可靠
4、，仅仅是一种猜想。,需证明,1.已知数列 的第一项 =1,且 ( 1，2，3，)，请归纳出这个数列的通项公式为_.,让我们一起来归纳推理,2.对于数列1,3,5,7,由此你猜想出第 个数是_ .,3.观察右图,可以发现: _. 1=12， 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ,4.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,四棱柱,6,8,12,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥
5、,12,8,6,八面体,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,5,5,8,四棱锥,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,5,5,8,四棱锥,9,16,9,尖顶塔,6,9,5,9,5,5,8,16,9,6,8,12,6,4,4,12,8,6,猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：,FVE2,欧拉公式,5.传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规
6、则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,1,2,3,游戏：河内塔（Tower of Hanoi）,解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.,当n=1时,a1=1,当n=2时,a2=,3,1,2,3,当n=1时,a1=1,当n=2时,a2=,3,解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.,当n=3时,a3=,7,当n=4时,a4=,15,猜想 an=,2n -
7、1,1,2,3,除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比。例如：,2.人们仿照鱼类的外型和它们在 水中沉浮的原理,发明了潜水艇.,4、火星上是否存在生命？,引入3：,3.苍蝇的眼睛是一种“复眼”，由3000多只小眼组成，人们模仿它制成了“蝇眼透镜” ，一次就能 照出千百张相同的相片。,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,火星上是否存在生命,由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.,三、类比推理,注意：（1）类比推理是由特殊到特殊的推理
8、（2）类比推理的结论不一定成立.,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长.,以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的 圆的方程为(x-x0)2(y-y0)2=r2.,与球心距离相等的两截面圆面积相等;,与球心距离不等的两截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大.,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,类比推理1、利用圆的性质类比得出球的性质,圆心与弦(非直径)中点连线垂直于弦.,球心与截面圆(不经过球心的截面圆) 圆心连线垂直于截面圆.,以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.,2：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,思考：这个结论是正确的吗？,2、类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测新的结果；,结论不一定成立.,1、归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,具有发现的功能;,四、比较两个推理：,归纳推理和类比推理的共同点,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.,
