计算机的运算基础分析

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1、第三讲：计算机的运算基础,主讲教师：宁德琼,硬件层,第 2 部分 硬件层,硬件层在计算机系统的位置,介绍数理逻辑进行逻辑电路的设计基础，介绍二进制与其它进制转换、分析门、电路的构成,计算机的运算基础,本章讨论的主要问题是： 1. 计算机使用二进制，二进制的理论基础是数理逻辑，什么是数理逻辑？ 2. 计算机内部使用二进制，在日常生活中人们习惯使用十进制，二进制数如何与十进制数进行转换？ 3. 任何数据必须以二进制形式存储在计算机中，各种类型的数据如何表示成二进制形式？指令如何表示成二进制形式？ 4. 计算机之所以具有逻辑处理能力，是由于计算机内部具有能够实现各种逻辑功能的逻辑电路，逻辑电路的基本

2、原理是什么？逻辑电路是如何工作的？,情景问题模拟数据和数字数据,模拟信息：用连续形式表示的信息称为模拟信息。真实世界的信息大多是连续的、无限的，如天气的变化、移动的距离、色彩的渐变、声音的波，等等。 数字信息：用离散形式表示的数字化信息称为数字信息。 计算机内部是一个二进制数字世界，而且计算机内存是有限的，计算机的硬件设备能处理的信息也是有限的，数据处理首先要解决的问题是如何用有限的计算机表示无限的真实世界。 解决方法是数字化，将连续的信息分割成独立的片断，然后单独表示每一个片断。换言之，把一个连续的实体分割成若干个离散的元素，然后用二进制数字单独表示每个离散元素。,计算机的运算基础数理逻辑,

3、数理逻辑是用数学的方法来研究推理规律的科学，它采用符号的方法来描述和处理思维形式、思维过程和思维规律，即把逻辑思维所涉及的概念、判断、推理用符号来表示，用公理化体系来刻画，并基于符号串形式的演算来描述推理过程的一般规律，从而实现人类思维过程的演算化、机械化，最终计算机化（即在计算机上实现）。因此，数理逻辑又称为形式逻辑或符号逻辑。,1854年，布尔（Boole ）创立了逻辑代数，为数字计算机的开关电路设计提供了重要的数学方法和理论基础。,命题逻辑,命题是一个有具体意义且能够判断真假的陈述句，命题所具有的值称为真值。 命题分为原子命题和复合命题两种类型。 原子命题是不能分解为更为简单的陈述句的命

4、题； 复合命题是将原子命题用连接词复合而成的命题。 例： （1）长春是吉林省的省会城市。 （2）3 乘以 8 等于 16。 （3）姚大龙既擅长书法又擅长绘画。,计算机的运算基础数理逻辑,与（）：两个命题A和B的与（又称A和B的合取）记为AB，表示当且仅当A和B同时为真时AB为真。,计算机的运算基础数理逻辑,命题代数,A：姚大龙擅长书法 B：姚大龙擅长绘画 AB：姚大龙既擅长书法又擅长绘画 只有当命题A和B均为真时AB才为真,或（）：两个命题A和B的“或”（又称A和B的析取）记为AB，表示当且仅当A和B同时为假时AB为假。,第 4 章 计算机的运算基础数理逻辑,命题代数,A：姚大龙擅长书法 B：

5、姚大龙擅长绘画 AB：姚大龙擅长书法或绘画 只有当命题A和B均为假时AB才为假,非（ ）：命题A的“非”（又称A的否）记为 ，表示当A为真时为假，当A为假时为真。,第 4 章 计算机的运算基础数理逻辑,命题代数,A：姚大龙擅长书法 ：姚大龙不擅长书法 当命题A为真时为假,可以将命题代数推广到逻辑代数，只需要将T替换为1，将F替换成0即可 。,计算机的运算基础数理逻辑,计算机的运算基础二进制,二进制的起源,乾天 坤地 震雷 巽风 坎水 离火 艮山 兑泽,计数制计数的方法,计 数 制,基数 数码的个数或进位值,数 码 及 其 个 数 进位值 十进制 09, 10个 10 二进制 0和1, 2个 2

6、 八进制 07, 8个 8 十六进制 09及AB, 16个 16 R进制 R个 R,逢 进 , 借 当 ,二进制、八进制、十六进制数间的关系,进位计数制,N=an-1rn-1an-2rn-2a0r0a-1r-1a-mr-m,R进制数N可表示 为：,R进制数用 r个基本符号（例如0，1，2，r-1）表示数值,基数,权,数码,678.34=6102+7101+8100 +310-1+410-2,不同进位计数制间的转换,r 进制转化成十进制 r 进制转化成十进制：数码乘以各自的位权值之累加和 例：10101(B)=24+22+1=21 101.11(B)=22+1+2-1+2-2=5.75 101(

7、O)=82+1=65 71(O)=78+1=5 101A(H)=163+16+104106,进制表示符号 B 二进制 O八进制 D十进制 H十六进制,十进制转化成 r 进制,整数部分：除以 r取余数，先余为低位，后余为高位。 小数部分：乘以 r取整数，先整为高，后整为低位。,100(D)=144(O)=64(H),例 100.345(D)1100100.01011(B),1.380,1.04,演示, B,= 2 Q,二进制,八进制,十六进制, B,= H,二进制数表示,八进制数表示,十六进制数表示,分别以小数点为中心，向前向后每三位(四位)分成一组，不足三位(四位)补上0,写出对应的8进制或十

8、六进制,把每一位八进制(十六进制)展开为对应的三位二进制(四位),二进制、八进制、十六进制数间的相互转换,1 101 101 110.110 101(B)= 1556.65(O) 1 5 5 6 6 5 11 0110 1110.1101 01(B)=36F.D4(H) 3 6 F D 4,一位八进制数对应三位二进制数 一位十六进制数对应四位二进制数 二进制转化成八(十六)进制) 整数部分：从右向左按三(四)位进行分组 小数部分：从左向右按三(四)位进行分组 不足补零,在计算机内部，数据的存储和处理都是采用二进制数，主要原因是： （1）二进制数在物理上最容易实现。节约设备。 （2）二进制数的运

9、算规则简单，这将使计算机的硬件结构大大简化。 （3）二进制数的两个数字符号“1”和“0”正好与逻辑命题的两个值“真”和“假”相对应，为计算机实现逻辑运算提供了便利的条件。,但二进制数书写冗长，所以为书写方便，一般用十六进制数或八进制数作为二进制数的简化表示。,二进制的优点：,符号位 “0”表示正 、 “1”表示负 运算带来问题复杂性:,符号在计算机中表示：数在机器中的表示称为机器数,例3.9 （-5）+4的结果应为-1。 但在计算机中若按照上面讲的符号位同时和数值参加运算，则运算如下：,若要考虑符号位的处理，则运算变得复杂。为了解决此类问题，引入了多种编码 表示方式，常用的是：原码、反码和补码

10、，其实质是对负数表示的不同编码。,(3)补码,带符号数的表示,假定一个数在机器中占用8位。 (1) 原码负号用“1”，正号用“0”，其余用七位二进制表示,正数的反码与原码相同，负数的反码在原码的基础上各位取反,正数的补码与原码相同，负数的补码在反码的基础上最后一位加止“1”,在数学中，数的长度是指该数所占的实际位数；在计算机中，数的长度是指该数所占的二进制位数。 在数学中，数的长度不是固定的，实际应用时有几位就写几位；在计算机中，同类型的数据长度一般是固定的，由机器的字长确定，不足部分用0补足。换言之，计算机中同一类型的数据具有相同长度，与数据的实际长度无关。 不失一般性，假设用八位二进制表示

11、一个整数。,补码的用途整数的编码,补码是一种使用最广泛的整数表示方法，其编码规则为：正数的补码其符号位为0，其余各位与数的绝对值相同，负数的补码其符号位为1，其余各位是数的绝对值取反然后在最末位加1。例如： X1000101 X补01000101 X1000101 X补10111011,如何表示零？,0补00000000 0补0反1111111111000000000,补码的用途整数的编码,补码的用途整数的编码,整数的编码,方便进行算术运算。符号位可以作为数值参与运算，减法运算可以转换为加法运算，简化了硬件的逻辑电路。,补码的用途整数的编码,产生溢出的原因是所要表示的值超过了系统能够表示的值的

12、范围，例如，4位二进制数表示的整数范围是-2323-1。,补码的用途整数的编码,P69,从计算中可看出，68+61=129，这种错误称为溢出。产生溢出的原因是所要表示的值超过了系统给定的范围-27_27,符号位 “0”表示正 、 “1”表示负,定点整数,小数点的表示定点数和浮点数,1. 数的编码表示,定点小数,定点整数,2.定点数和浮点数表示,定点小数,定点数,浮点数,110.011(B)=1.100112+10=11001.12-10=0.1100112+11,N= 数符尾数2阶符阶码 尾数的位数决定数的精度 阶码的位数决定数的范围,定点整数,定点小数,规格化的形式：尾数的绝对值大于等于0.

13、1并且小于1，从而唯一地规定了小数点的位置。,二进制数：N=+-d 2+-P 则d为尾数，p为阶码,例4.12 设X3.625，假设用12位二进制数表示一个浮点数，其中阶码占4位，尾数占8位，则其浮点表示如下： (3.625)10(11.101)20. 11101210 阶码为+10，其补码为010，由于阶码占4位，则阶码表示为0010（注意是在阶码的前面补0，因为阶码是整数）；尾数为+0.11101，其补码为011101，由于尾数占8位，则尾数表示为01110100（注意是在尾数的后面补0，因为尾数是纯小数）。最后，X的浮点表示为：001001110100。,浮点数的编码,例4.13 设X3

14、.625，假设用8位二进制数表示一个浮点数，其中阶码占3位，尾数占5位，则其浮点表示如下： (3.625)10(11.101)20. 11101210 阶码为+10，其补码为010；尾数为+0.11101，其补码为011101，由于尾数占5位，空间不够，则尾数表示为01110。最后，X的浮点表示为：01001110。 但是01001110是3.5的浮点表示，也就是说，由于尾数的空间不够大，从而产生了截断误差。使用较长的二进制位表示尾数可以减少截断误差的产生，事实上，今天所用的大多数计算机都使用32位二进制数来表示一个浮点数。,浮点数的编码,数据在计算机中的表示,(1) ASCII码,在计算机中

15、，最常用的是英文字符，常用的编码为ASCII码（American national Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准码。 在ASCII中，用7个二进制位表示1个字符，共可以表示128个字符，其中95个可打印或显示的字符，其他的则为不可打印或显示的字符。 在ASCII码的应用中，也经常用十进制表示，如空格：32；数字 0-9：48-57；大写字母A-Z：65-90；小写字母a-z：97-122。 一个ASCII码的长度不超过8个二进制位。因此，保存一个ASCII码只需一个字节 ASCII码只占用了一个字节中低端的7位，最高位（第8位）为,ASCII码表,SP ！ ” ( ) /, ： ; ？,汉字编码,(1) 汉字输入码 音码类 全拼、双拼、微软拼音、自然码和智能ABC等 形码类 五笔字型法、郑码输入法等 。 (2) 汉字国标码(GB231280) 国标码的范围 2121H7E7EH 每个汉字占两个字节。组成94*94的矩阵 一级汉字：3755个；以汉语拼音为