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1、将行列式展开，得关于 的n 次多项式：,() 称为A的特征多项式，一般()=0 的n个根都是A的特征值，对应于n个特征向量，且若x为 对应的特征向量，则kx也是 对应的特征向量（允许相差一常数k）。,当n不大时，如n4 解特征方程，可求出全部特征值（n 3较难）,当 n较大（n5），计算量会增大得惊人，且不可能求得,准确结果，还可能出现不稳定，所以当n稍大一般不直接求解特征方程，而根据实际问题的需要，介绍相应的一些行之有效的数值解法:,3.1 幂法,像我们在范数，谱半径中知道的那样，有时只需求出矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。,幂法是一种用来求解矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的
2、迭代方法；先找初始向量x(0)反复乘以给定的方阵A，依次得x(1),x(2)，直到满足精度为止，可从中分离出绝对值最大的特征值。,设n 阶矩阵A 有一个完全的特征向量组 , , , ; 它们分别对应于特征值 , , , ; 即：,假设特征值的排列次序是：,同时任取一非0向量 ，构造如下一向量序列：,假定i (i =1,2,，n)对应的特征向量x1, x2, xn线性无关，这组特征向量构成Rn中的一个基底，则任一非零向量可表为xi ( i= 1, 2 ,n)的线性组合，即存在n个不全为0的常数i ( i=1,2,n)使:,因此，当k 充分大时：,所以，当k 充分大时，两相邻迭代向量 和 近似地相
3、差一个倍数，这个倍数便是矩阵A按模最大的特征值 。,所以，当k 充分大时，两相邻迭代向量 和 各个分量，也近似地相差一个倍数。,在实际计算时，由于k 不可能趋于无穷大，只能取某个相当大的值，这时，两相邻迭代向量的不同分量之比就不相同， 也不相同，此时可用 的平均值作为 的近似值。,所以，当k 充分大时， 即为对一对应于特征值 的特征向量。,综上所述，这种由任意给定的非0向量 和矩阵A 的乘幂 构造向量序列 用来计算A 的主特征值 及相应特征向量的方法称为幂法。,所谓主特征值，就是所有特征值中，按模最大的特征值。,注意：当 而k充分大时， 会随k的增大而无限增大或无限趋于0，这样上机计算时会产生
4、溢出（上溢或下溢）的情况，为避免这种情形出现，实际计算时，每次迭代求得的向量V(k)要进行 归一化（规范化）处理：取V(k)中绝对值最大的一个分量除V(k) ，这样将V(k)的分量全部控制在-1,1 中，而1 是由相邻二次分量的比值所决定，因此不会受到影响。,因此, 幂法实际使用的公式及算法为：,即为所求的主特征值对应的特征向量。,所以， 绝对值最大的分量收敛到主特征值。,幂法计算步骤：,7. 若kN，置k+1 k, ，转3；否则，输出失败信息，停机。,3.计算 。；,5.计算 。；,例 1 用幂法求矩阵A 按模最大的特征值和特征向量，取x(0)=(0，0，1)T，要求误差不超过10-3 。,
5、解 ：由幂法使用步骤,如此继续下去，计算结果见下表,因为：,其对应的特征向量： 可与准确的特值值；1=3，2=2，3=1及1的特征向量(1, -1, 1 )T 相比较，再次说明：特征向量允许相差一常数。,说明 ：幂法的收敛速度依赖于 ，比值越小，收敛越快，对上例，按准确的 值，比值 不是很小。 因此对 = 103 也迭代了9次，不算收敛快。,幂法的加速：原点移位法,所谓原点移位法是：以A-pI代替A，用乘幂法求得A-pI的最大特征值 1- p，则A的最大特征值1,其特征向量不变。 若x是A与对应的特征向量，即Ax= x, 则( A-pI )x = Ax-px= x-px=( -p)x，故x也是
6、A-pI的特征向量。,适当地选取p满足 且 这样在用幂法求A-pI的最大特征值1-p时，收敛速度比对A用幂法要快。,3.2 雅可比方法,1. 先介绍一些预备知识和相关结论： （1）A为n阶实对称阵，则A有n 个实特征值，且有n个对应的正交的线性无关的特征向量。 Q为正交阵，则： Q QT = I，即QT = Q1，正交阵的乘积仍为正交阵。,（2）A，B为n阶方阵，方阵R可逆，A，B相似：存在可逆方阵 R 使，R1A R = B 。 相似矩阵的特征值相同，A，B相似，若A为对称阵，则 B也是对称阵。,（3）A为实对称阵，R为正交阵，则B=RTAR也是对称阵。 （4）对于n阶实对称阵A，一定存在正
7、交阵R，使：,A与D相似， 为矩阵A 的全部特征值，而 的第j 个列向量 就是与 对应的特征向量。,因为：,问题1：为了求出对称矩阵A 的所有特征值，能不能通过一系列的正交初等变换，逐步地将A 化为对角阵？,问题2：如何构造正交矩阵 ？,（5）在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。,则:,Jacobi方法正是对上述两个问题的回答：通过一次正交变换，将A中的非零的非对角线元素化为零，使得非对角元素的平方和减少，反复进行上述过程，使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。Jacobi法的关键，在于找到合适的正交阵R，为了说明这个问题，我们从最
8、简单的情况开始。,2. 平面旋转变换,设在平面上有一条二次曲线：,可以通过坐标轴的旋转,化为标准形状：,如果把二次曲线方程写成矩阵形式，即为：,其中a12 = a21，则坐标轴旋转方程变为：,把此方程代入上方程，则：,则上式可简写为:,两个非对角线元素已化为零,容易验证R是一个正交矩阵，称上述变换是一个正交变换。通过正交变换，正交矩阵R把对称矩阵A变成为对角阵，而 1与,由此看出，对于二阶对称矩阵，用R 作一次正交变换，适当选择 ，就可以使A 对角化。,2即是矩阵的特征值。正交矩阵RT的两个列向量分别对应于1, 2的两个单位特征向量，即1所对应的特征向量为 ，2所对应的特征向量为,3. 假设
9、A 为n 阶实对称矩阵,经过正交变换后得：,同时假设矩阵 中非对角元素中，模最大元素为,1 . , 所以Rk(p,q) 为正交矩阵；,矩阵Rk(p,q) 中，对角线上元素除rpp=rqq=cos 外，其它皆为1，非对角线上元素除 -rqp=rpq=sin 外，其它皆为0，称Rk(p,q)为平面旋转阵。容易直接验证Rk(p,q)有如下性质：,2 如果A是对称阵，则 ，所以 是对称阵，就是说，对称阵经过正交变换以后，仍是对称阵.,3 矩阵A经过变换后，Ak-1中第p行，第q行及第p列、第q列元素的变化如下：,只有第p 列与第q 列改变,其余不变。, . 当 时，, . 当 时:,令,可以验证： 1
10、） 即经过正交变换后，矩阵所有元素的平方和不变。,把sin和cos表达式代入上式，得：,由此看出，每进行一次正交变换，非对角线元素的平方和减少了 适 ，而对角线元素的平方和则增加了 ， 而变换前后，矩阵元素总的平方和不变。,因此，每经过一次正交变换，非对角线元素总是向0 接近了一步！重复上述过程，可得A(k+1)，如此继续下去，得到一个矩阵序列A(k)。可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元的平方和递减。正是利用这一点，导出了Jacobi 方法。,通过一系列旋转相似变换将A变成A(k+1)，求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法
11、。如果在对A作相似变换的过程中，每一步都选绝对值最大的非对角元素 ，以此确定旋转矩阵，这种方法称为古典Jacobi方法。,4. 正交变换终止的条件：,5. 求解特征向量,假设矩阵A 经过m 次正交变换后，迭代结束，则,令 ，则 仍为正交矩阵。,则 第j 列就是矩阵A与 相对应的标准正交特征向量。,在编程时，一般 令 ,. 在矩阵A 的非对角线元素中，选取一个绝对值取大的元素 。,. 由公式 求出 和 。, .由下面公式 , 得到矩阵 。, .由下面公式， 得到矩阵 。, .以 代替 ，以 代替 ，重复第、步，直到 矩阵 的非对角线元素小于所要求的误差限。, . 的对角线元素即为全部特征值的近似
12、值，而 的第 j 列即为所 所对应的特征向量。,6. 雅可比方法的计算步骤 ( ) ：,7. 两点说明,在实际计算中还可采用一些措施来提高精度和节省工作量: 1 减少舍入误差的影响。从公式中可知，具体计算时只需用到sin , cos的值，为了提高精度，舍入误差越小越好。常常利用三角函数之间的关系，写成便于计算的公式:,即得:,2 节省工作时间。在雅可比法中，每次变换是把非对角元绝对值最大者化为零，但在n阶矩阵中要去寻找这个最大元素要花较多的机器时间，所以一般不选最大元。改进的一种方法是设某些“关口”，如a1,a2,ak，先按次序用aij(ij,j =1,2,n)与a1比较，若 ，则通过不加运算，若 ，就进行一次旋转变换，使之化为0，一遍轮流过以后，再用a2来比较，作同样处理，直至达到所需精度为止，这种方法称为雅可比过关法。,重复上述过程。如此继续下去，可得：,所以A的特征值为：,
