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1、第九章 异方差,上海立信会计学院,主要内容: 1.异方差的性质 2.异方差的后果 3.异方差的诊断 4.异方差的补救措施,总体回归函数中随着解释变量的变化,随机误差项的方差不变,这 称为同方差性。而如果随着解释变量的变化,随机误差项的取值不同, 则称为异方差性。,一、异方差,异方差可以表示为: 例如:在一个双变量线性回归模型中,应变量Y是个人储蓄,解释变量X是个人可支配收入或税后收入(PDI)。画出Y的方差如下图:,图a 同方差,图b 异方差,注意:研究发现,异方差问题多存在于截面数据(cross-sectional data)而非时间序列数据。 例子:美国行业利润,销售量和R&D支出 下表给
2、出了美国18个行业1988年的销售、利润和研究与发展(R&D)支出的数据。(见本章ppt第6页) 假定要了解研究与发展与销售的关系,有如下模型: 该模型的最小二乘回归结果如下:,观察一下残差图(如下)。,从图中可以看到,残差的绝对值随销售额的增加而增加。因为残差可以 近似地看作随机误差项,所以可以得出结论,该模型存在异方差。 由于观察值是按照销售额升序排列的,这就等同于间接地将残差对销售额 作图,1988年美国研究与发展支出费用(百万美元),二、异方差的后果 如果CLRM其他假设保持不变,放松同方差假定,异方差则有如下后果: 1.OLS估计量仍是线性无偏估计量。 2.异方差情况下,OLS估计量
3、不再有效。 3.OLS估计量的方差通常是有偏的。偏差的产生是由于 即 ,不再是真实 的无偏估计量。 4.建立在t分布和F分布之上的置信区间和假设检验不再可靠。如果沿用传统的假设检验方法,则很可能得出错误的结论。 三、异方差的诊断 与多重共线性的情况一样,并没有诊断异方差的确定办法,只能借助一些诊断工具判断异方差的存在。主要有: 1.根据问题的性质 2.残差的图形检验,(1)残差图可以是关于观察值与残差的散点图,也可以是残差与解释变量,残差与估计值 的散点图。这些图可以帮助我们判断同方差假设或者是CLRM其他假设是否满足。 例子可参见美国行业利润,销售量和R&D支出。 由该例中关于观察值与残差的
4、散点图可以得出结论,该模型存在异方差。 (2)此外,还可以利用残差的平方 与观察值或解释变量或估计值的散点图来判断是否存在异方差。一般来说, 与变量 之间的散点图主要有如下样式。(见下一页) 图a到图c中,图a中残差平方与X之间没有可识别的系统模式,所以不存在异方差;而图b到图e中两者都呈现出系统关系,所以都可能存在异方差。,假设的 模式,3.帕克检验 假如存在异方差,而且方差可能与一个或者多个解释变量系统相关,那么可以用帕克检验对是否存在异方差做出判断,帕克检验的步骤如下: (1)在不考虑异方差的情况下,做原模型的最小二乘回归。 (2)从原始回归方程中求得残差 ,并求其平方,再取对数形式。
5、(3)利用原始模型中的一个解释变量作如下形式的回归,如果有多个解释变量,则对每一个解释变量作形如下式的回归,或者做 对的估计值 的回归。 (4)检验零假设 ,即不存在异方差。如果 和 之间是统计显著的,则拒绝零假设:不存在异方差。,例子:利用方程(2)来说明帕克检验。把从该回归方程中得到的残差用于模型(),得到如下结果: 在的显著水平下(单边检验),估计的斜率系数是统计不显著的。所以接受原假设:原始模型中不存在异方差。但可惜的是,帕克检验本身也存在比较严重的问题,那就是在回归方程(3)中,误差项本身也可能存在异方差。所以除了进行帕克检验外,还应该用其他检验方法进行判断。 4.格莱泽检验(Gle
6、jser test) 格莱泽检验实质上与帕克检验类似。从原始模型获得残差后,格莱泽建议做 的绝对值 对X的回归。其具体回归函数如下:,每种情形下的零假设都为:H0:B2=0。如果拒绝零假设, 则表明可能存在异方差。 例子:如研发支出 但应注意的是,格莱泽检验同帕克检验存在同样的缺陷。 5.怀特一般异方差检验,假定有如下模型: 怀特检验步骤如下: (1)首先用普通最小二乘法估计回归模型(5),获得残差。 (2)然后做如下辅助回归, (3)求辅助回归方程(6)的 值。在不存在异方差(即式(6)中所有斜率系数都为零)的零假设下,怀特证明了从方程(6)中得到的 值与样本容量的积服从 分布,自由度等于方
7、程(6)中解释变量的个数(不包括截距项)。 (4)如果从方程(5)中得到的 值超过了所选显著水平下的 临界值,或者说计算 值的p值很低,则拒绝零假设。否则,不能拒绝零假设。,四、异方差的补救措施 (一)加权最小二乘法 1.当 已知时: 考虑双变量PRF, 其中,Y为被解释变量,X为解释变量。假设误差方差 是已知的。对模型()考虑如下变换: 令 可以证明,新的随机误差项 是同方差的。因此,变换后的模型()不存在异方差问题,因而可以用常规OLS方法估计。,注意:此方法称为加权最小二乘法(WLS),2.当 未知时 实践中很难获得真实误差方差的信息。因此,要使用WLS法,必须对 进行特殊、合理的假设,
8、通过对原始模型变换,使得变化后的模型满足同方差假定,然后运用OLS法。 以双变量模型为例,对这个未知的误差方差作如下假设,然后运用WLS法。 (1)误差方差与 成比例 用OLS方法估计模型后,把回归的残差对解释变量X作图,如果观察到图形与下图相似,则表明误差方差与解释变量X线性相关,即 那么,对方程(7)做如下变换,误差方差与X成比例的图示,很容易证明变形后回归方程的随机误差项是同方差的,因此,可以应用OLS法估计式(9)。 (2)误差方差与 成比例 如果估计的残差呈现类似下图的模型,则表明误差方差与X之间呈现如下关系: 在这种情况下,把方程两边同除以 ,变换如下:,很容易证明,以上变换后的方程的随机误差项是同方差的,因 此,可以用OLS法估计以上方程。,误差方差与 成比例的图示,(二)重新设定模型 有时候,我们也可以通过重新选择一个新的函数形式来消除异方差。比较常用的是改变原来的变量线性模型(LIV),而改为对数线性模型形式。比如原来的方程形式是如方程(7)的变量线性形式,那么可以变换成如下的对数线性形式, 这种变换可以在一定程度上消除异方差。因为对数变换压缩了变量的度量程度,把两个变量值间的10倍差异缩小为倍差异。,