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1、第九章 异方差,上海立信会计学院,主要内容： 1.异方差的性质 2.异方差的后果 3.异方差的诊断 4.异方差的补救措施,总体回归函数中随着解释变量的变化，随机误差项的方差不变，这 称为同方差性。而如果随着解释变量的变化，随机误差项的取值不同， 则称为异方差性。,一、异方差,异方差可以表示为： 例如：在一个双变量线性回归模型中，应变量Y是个人储蓄，解释变量X是个人可支配收入或税后收入(PDI)。画出Y的方差如下图：,图a 同方差,图b 异方差,注意：研究发现，异方差问题多存在于截面数据(cross-sectional data)而非时间序列数据。 例子：美国行业利润，销售量和R&D支出 下表给
2、出了美国18个行业1988年的销售、利润和研究与发展(R&D)支出的数据。(见本章ppt第6页) 假定要了解研究与发展与销售的关系，有如下模型： 该模型的最小二乘回归结果如下:,观察一下残差图（如下）。,从图中可以看到，残差的绝对值随销售额的增加而增加。因为残差可以 近似地看作随机误差项，所以可以得出结论，该模型存在异方差。 由于观察值是按照销售额升序排列的，这就等同于间接地将残差对销售额 作图,1988年美国研究与发展支出费用（百万美元）,二、异方差的后果 如果CLRM其他假设保持不变，放松同方差假定，异方差则有如下后果： 1.OLS估计量仍是线性无偏估计量。 2.异方差情况下，OLS估计量
3、不再有效。 3.OLS估计量的方差通常是有偏的。偏差的产生是由于 即 ，不再是真实 的无偏估计量。 4.建立在t分布和F分布之上的置信区间和假设检验不再可靠。如果沿用传统的假设检验方法，则很可能得出错误的结论。 三、异方差的诊断 与多重共线性的情况一样，并没有诊断异方差的确定办法，只能借助一些诊断工具判断异方差的存在。主要有： 1.根据问题的性质 2.残差的图形检验,(1)残差图可以是关于观察值与残差的散点图，也可以是残差与解释变量，残差与估计值 的散点图。这些图可以帮助我们判断同方差假设或者是CLRM其他假设是否满足。 例子可参见美国行业利润，销售量和R&D支出。 由该例中关于观察值与残差的
4、散点图可以得出结论，该模型存在异方差。 (2)此外，还可以利用残差的平方 与观察值或解释变量或估计值的散点图来判断是否存在异方差。一般来说， 与变量 之间的散点图主要有如下样式。（见下一页） 图a到图c中，图a中残差平方与X之间没有可识别的系统模式，所以不存在异方差；而图b到图e中两者都呈现出系统关系，所以都可能存在异方差。,假设的 模式,3.帕克检验 假如存在异方差，而且方差可能与一个或者多个解释变量系统相关，那么可以用帕克检验对是否存在异方差做出判断，帕克检验的步骤如下： (1)在不考虑异方差的情况下，做原模型的最小二乘回归。 (2)从原始回归方程中求得残差 ，并求其平方，再取对数形式。
5、(3)利用原始模型中的一个解释变量作如下形式的回归，如果有多个解释变量，则对每一个解释变量作形如下式的回归，或者做 对的估计值 的回归。 (4)检验零假设 ，即不存在异方差。如果 和 之间是统计显著的，则拒绝零假设：不存在异方差。,例子：利用方程(2)来说明帕克检验。把从该回归方程中得到的残差用于模型（），得到如下结果： 在的显著水平下（单边检验），估计的斜率系数是统计不显著的。所以接受原假设：原始模型中不存在异方差。但可惜的是，帕克检验本身也存在比较严重的问题，那就是在回归方程(3)中，误差项本身也可能存在异方差。所以除了进行帕克检验外，还应该用其他检验方法进行判断。 4.格莱泽检验(Gle
6、jser test) 格莱泽检验实质上与帕克检验类似。从原始模型获得残差后，格莱泽建议做 的绝对值 对X的回归。其具体回归函数如下：,每种情形下的零假设都为：H0:B2=0。如果拒绝零假设， 则表明可能存在异方差。 例子：如研发支出 但应注意的是，格莱泽检验同帕克检验存在同样的缺陷。 5.怀特一般异方差检验,假定有如下模型： 怀特检验步骤如下： (1)首先用普通最小二乘法估计回归模型(5)，获得残差。 (2)然后做如下辅助回归， (3)求辅助回归方程(6)的 值。在不存在异方差（即式(6)中所有斜率系数都为零）的零假设下，怀特证明了从方程(6)中得到的 值与样本容量的积服从 分布，自由度等于方
7、程(6)中解释变量的个数（不包括截距项）。 (4)如果从方程(5)中得到的 值超过了所选显著水平下的 临界值，或者说计算 值的p值很低，则拒绝零假设。否则，不能拒绝零假设。,四、异方差的补救措施 （一）加权最小二乘法 1.当 已知时： 考虑双变量PRF， 其中，Y为被解释变量，X为解释变量。假设误差方差 是已知的。对模型（）考虑如下变换： 令 可以证明，新的随机误差项 是同方差的。因此，变换后的模型（）不存在异方差问题，因而可以用常规OLS方法估计。,注意：此方法称为加权最小二乘法（WLS）,2.当 未知时 实践中很难获得真实误差方差的信息。因此，要使用WLS法，必须对 进行特殊、合理的假设，
8、通过对原始模型变换，使得变化后的模型满足同方差假定，然后运用OLS法。 以双变量模型为例，对这个未知的误差方差作如下假设，然后运用WLS法。 (1)误差方差与 成比例 用OLS方法估计模型后，把回归的残差对解释变量X作图，如果观察到图形与下图相似，则表明误差方差与解释变量X线性相关，即 那么，对方程(7)做如下变换,误差方差与X成比例的图示,很容易证明变形后回归方程的随机误差项是同方差的，因此，可以应用OLS法估计式(9)。 (2)误差方差与 成比例 如果估计的残差呈现类似下图的模型，则表明误差方差与X之间呈现如下关系： 在这种情况下，把方程两边同除以 ，变换如下：,很容易证明，以上变换后的方程的随机误差项是同方差的，因 此，可以用OLS法估计以上方程。,误差方差与 成比例的图示,（二）重新设定模型 有时候，我们也可以通过重新选择一个新的函数形式来消除异方差。比较常用的是改变原来的变量线性模型(LIV)，而改为对数线性模型形式。比如原来的方程形式是如方程(7)的变量线性形式，那么可以变换成如下的对数线性形式， 这种变换可以在一定程度上消除异方差。因为对数变换压缩了变量的度量程度，把两个变量值间的10倍差异缩小为倍差异。,
