《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第25讲三角函数的图象与性质（一）含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第25讲三角函数的图象与性质（一）含答案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第25讲三角函数的图象与性质(一)1熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值2会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期 知识梳理1用五点法作正弦、余弦函数的简图(1)ysin x图象在0,2上的五个关键点坐标为：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)(2)ycos x图象在0,2上的五个关键点坐标为：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1).2三角函数的图象与性质 (其中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxk，kZ值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k2k，2k(k，k
2、)递减区间2k，2k2k，2k最大值x2k时，ymax1x2k时，ymax1最小值x2k时，ymin1x(2k1)时，ymin1 热身练习1函数f(x)1sin x，x0,2的大致图象是图中的(B) 由五点法知图象应经过(0,1)，(，0)，(，1)，(，2)，(2，1)，可知应选B.2函数y的定义域为(A)Ax|x2k，kZ Bx|x(2k1)，kZCx|x2k，kZ Dx|x2k，kZ 由cos x1，得x2k，kZ，故定义域为x|x2k，kZ3当x，时，函数ysin xcos x的值域为(D)A1,1 B，1C2,2 D1,2 y2sin(x)，x，sin(x)1，所以1y2.4函数f(
3、x)sin(x)2sin cos x的最大值为1. f(x)sin(x)2sin cos xsin xcos cos xsin 2sin cos xsin xcos cos xsin sin(x)1.所以f(x)max1.5函数y8cos x2sin2x的最大值为8. y2(1cos2x)8cos x2cos2x8cos x2，令cos xt，1t1，y2t28t22(t2)210，故t1时，ymax8. 三角函数的定义域函数y的定义域为_ 由2sin x10，得sin x，即2kx2k(kZ)故定义域为x|2kx2k，kZ x|2kx2k，kZ (1)求三角函数的定义域，常转化为解三角不等式
4、和三角方程，可借助三角函数的图象来求解(2)解简单三角不等式的步骤：如sin xa.第一步，作出ysin x的图象；第二步，作直线ya，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是0,2)在直线ya上方的图象；第三步，确定sin xa的x值，写出解集1函数y的定义域为x|xk且xk，kZ. 由tan x10，得tan x1.所以xk且xk，kZ，故定义域为x|xk且xk，kZ 三角函数的值域或最值求函数y43sin2x4cos x的值域，其中x， y43sin2x4cos x43(1cos2x)4cos x3cos2x4cos x13(cos x)2.因为x，所以cos x，1而，1，所以当co
5、s x时，ymin.当cos x时，ymax3()24()1.所以所求函数的值域为， 三角函数的值域或最值问题常考的主要有两种类型，一种是化为yAsin(x)或yAcos(x)或yAtan(x)，另一种是化为关于sin x，cos x或tan x的二次函数第一种类型可利用三角函数的性质及不等式的性质求得，第二种类型可换元转化为二次函数，借助二次函数的性质求得不管哪种类型，都要注意角的范围2(2017北京卷)已知函数f(x)cos(2x)2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x，时，f(x). (1)f(x)cos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2
6、xsin(2x)，所以f(x)的最小正周期T.(2)证明：因为x，所以2x，所以sin(2x)sin()，所以当x，时，f(x). 三角函数的值域或最值的应用在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_ 要求AB2BC的最值，首先要将其表达式求出来在ABC中，B和边AC是确定的，AB，BC是变化的，但C一定，则边AB，BC就确定了，可见，AB2BC随着C的变化而变化，从而可建立AB2BC关于C的函数关系 在ABC中，由正弦定理得2R2，所以AB2BC2sin C4sin(C)4sin C2cos C2sin(C)，C(0，)，所以AB2BC的最大值为2. 2 利用三角函数的最值解决有关问
7、题的一般步骤是：(1)建立目标函数；(2)求最值；(3)作答其中关键是建立目标函数，而建立目标函数的关键是选取适当的角变量，建立目标函数后，再根据表达式的特点求其最值3如图，半径为1的扇形的圆心角为，一个矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，求此矩形ABCD的最大面积 连接OC，设BOC，0，设矩形ABCD的面积为S，则BCsin ，在OAD中，tan，所以OAsin ，所以ABOBOAcos sin ，所以SABBC(cos sin )sin cos sin sin2sin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin(2).故时，Smax.故矩形A
8、BCD的最大面积为.1求三角函数的定义域实际上转化为解三角不等式，常借助三角函数的图象来求解2求三角函数的值域(最值)常用的几种类型如下：(1)形如yasin xbcos xk的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xk的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)换元法是求三角函数最值的重要方法，通过换元可将三角函数的最值化归为代数函数的最值，这时要特别注意新元的范围3利用三角函数的最值解决有关问题时，关键是引入角，建立目标函数，然后根据目标函数的特点进行求解
