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1、第13讲函数与方程1结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系2判断一元二次方程根的存在性及根的个数 知识梳理1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在定理) 如果函数yf(x)在区间a，b上是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b) 0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点.2二分法(1)二分法的意义 对于区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在
2、的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的步骤：第一步，确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度.第二步，求区间(a，b)的中点x1.第三步，计算f(x1)；若f(x1)0，x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则令bx1，此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0)零点的分布零点的分布(m，n，p为常数)图象满足条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0mx1x2nmx1nx2p只有一个零点在(m，n)之间或f(m)f(n)1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方
3、程无解综上，函数f(x)的零点只有0.2函数f(x)x33x1在以下哪个区间内一定有零点(B)A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3) 因为f(0)f(1)0，所以f(x)在(0,1)上一定有零点3已知函数f(x)2axa3.若x0(1,1)，f(x0)0，则实数a的取值范围是(A)A(，3)(1，) B(，3)C(3,1) D(1，) 当a0时，显然不成立当a0时，由题意知f(1)f(1)0，即(3a3)(a3)0，解得a1.4(2018武昌区模拟)函数f(x)()x的零点的个数为(B)A0 B1C2 D3 在同一平面直角坐标系内作出y与y()x的图象(如图)，由图可知，两函数图
4、象只有一个交点，因此函数f(x)()x只有1个零点5若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.4375)0.162f(1.40625)0.054那么方程x3x22x20的一个近似值(精确到0.1)为(C)A1.2 B1.3C1.4 D1.5 可知方程的解在区间(1.40625,1.4375)上，因为1.406251.4,1.43751.4，故近似解为1.4. 函数零点的判断与求解(1)设x0是方程ln xx4的解，则x0属于区间A(0,1) B(1,2)C(2,3
5、) D(3,4)(2)函数f(x)的零点个数是_ (1)设f(x)ln xx4，因为f(1)30，f(2)ln 22ln e10，所以f(2)f(3)0时，f(x)2x6ln x在(0，)上为增函数，且f(2)ln 220.所以f(x)在(0，)上有且只有一个零点综上，f(x)的零点个数为2. (1)C(2)2 判断方程的根的个数，函数的零点个数等问题，常用方法有：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)利用函数零点存在定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)才能确定函数有多少个零
6、点(3)利用函数图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点1(1)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为(C)A(，0) B(0，)C(，) D(，)(2)(2018岳麓区校级模拟)已知函数f(x) 则函数g(x)f(1x)1的零点个数为(C)A1 B2C3 D4 (1)因为f(x)是R上的增函数且图象是连续的，且f()4320，所以f(x)在(，)内存在唯一零点(2)由题意得f(1x)即f(1x)当x1时，由f(1x)1x24x20，解得x2或x2(舍去)；当x1时，由f(1x)1|lg(1x)|10，解得x9或x满足条件
7、综上所述，函数g(x)的零点有3个，故选C. 二次函数的零点已知函数f(x)x22mx2m1.(1)若函数有两个零点，其中一个零点在区间(1,0)内，另一个零点在区间(1,2)内，求m的取值范围；(2)若函数的两个零点均在(0,1)内，求m的取值范围 (1)条件说明抛物线：f(x)x22mx2m1的零点分别在(1,0)和(1,2)内，画出示意图，得：所以m.(2)根据f(x)的零点落在(0,1)内，列不等式组：所以m1. 利用二次函数图象，采用数形结合是求解二次函数零点分布问题的基本方法求解时，一般要考虑如下四个方面：“开口方向、方程有解的条件、对称轴的位置、区间端点函数值的正负”其中方程有解
8、的条件可以是：0；零点存在定理2若关于x的方程x22ax2a0有两个不相等的实根，分别满足下列条件，求a的取值范围(1)方程的两根都大于1；(2)方程一根大于1，另一根小于1. 设f(x)x22ax2a.(1)两根都大于1，即f(x)在(1，)上有两个不同的零点，所以解得2a3.(2)方程一根大于1，另一根小于1，即要求f(x)x22ax2a的两零点在x1的两旁，所以只需要f(1)3. 函数零点和参数的范围(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，) 令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐
9、标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图：若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，解得a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，) C 由函数的零点确定参数的取值范围，常采用数形结合的方法有如下两种常用的方法(1)将参数分离，化为bg(x)的形式，转化为yb与yg(x)的交点问题；(2)将函数f(x)化为f(x)h(x)g(x)的形式，根据f(x)0h(x)g(x)，转化为yh(x)与yg(x)的交点问题3(2017全国卷)已知函数f
10、(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a(C)A B.C. D1 (方法一)f(x)0a(ex1ex1)x22x.令g(x)x22x，h(x)a(ex1ex1)，因为g(x)(x1)211，当且仅当x1时取“”又因为ex1ex122，当且仅当x1时取“”若a0，则h(x)a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一(方法二)f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，g(t)f(t1)t2a(etet)1.因为g(t)(t)2a(etet)1g(t)，所以函数g(t)为偶函数因为f(x)有唯一零点，所
11、以g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，所以2a10，解得a.(方法三)f(x)(x1)2a(ex1ex1)，因为f(2x)f(x)，所以f(x)关于x1对称，f(x)有唯一零点f(1)0，所以a.1函数yf(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的实数根，也是yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点的判定的常用方法有：(1)零点存在定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.3方程f(x)g(x)的解，实质上就是研究F(x)f(x)g(x)的零点，可利用函数思想，将其转化为两个函数图象的交点问题4二次方程根的分布问题实质上是函数零点存在的范围问题，因此可借助函数，运用数形结合的思想方法进行处理在利用二次函数的图象研究根的分布问题时，要注意考察如下四个方面：开口方向；方程有根的条件；对称轴位置；区间端点函数值的正负
