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1、第8讲二次函数1熟练掌握二次函数的定义、图象与性质2会求二次函数在闭区间上的最值 知识梳理1二次函数的三种表达式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0).(2)顶点式：若二次函数f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)a(xk)2h.(3)零点式：若二次函数的图象与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则其解析式为f(x)a(xx1)(xx2).2二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0；当时，恒有f(x)bc且abc0，则它的图象可能是(D) 因为abc且abc0，所以a0，c0，则抛物线yax2bxc的图象开口向上，与y轴交于负半
2、轴，由此可知选D.3如果函数f(x)x2bxc对任意实数t都有f(2t)f(2t)，那么(A)Af(2)f(1)f(4) Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(4)f(1) Df(4)f(2)f(1) 因为f(x)x2bxc，所以a1，抛物线的图象开口向上，又f(2t)f(2t)，x2是其对称轴，即当x2时，f(x)取得最小值而当x2时，f(x)是增函数，有f(2)f(3)f(4)，又f(21)f(21)，即f(1)f(3)，所以f(2)f(1)f(4)4若f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，2)上是(A)A增函数B减函数C部分为增函数，部分为减函数D无法确定增减性
3、由f(x)f(x)，可得m0，所以f(x)x23，由此知f(x)在(5，2)上是增函数5函数f(x)2x2x1，x3,1(1)f(x)的单调递增区间为3，单调递减区间为，1；(2)f(x)的最大值为，最小值为14. 因为f(x)2x2x12(x)2，(1)当x3,1时，函数f(x)在3，上为增函数，在，1上为减函数(2)当x时，y取得最大值f()；又因为x3与对称轴x的距离大于x1与对称轴的距离，所以x3时取得最小值，且最小值为f(3)14. 二次函数的图象与性质若函数f(x)2x2mx1在区间1，)上递增，则f(1)的取值范围为_ 作出f(x)的图象，根据图象可知，其对称轴x处在区间1，)的
4、左边(包括端点)时，f(x)在1，)上递增，所以1，解得m4.所以f(1)m13.即f(1)的取值范围为(，3 (，3 二次函数的单调性是以对称轴为分界线的，因此，讨论二次函数的单调性时，要抓住对称轴与所给定义域的关系1已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)若f(x)在5,5上单调递增，则a的取值范围为5，)；(2)若f(x)在5,5上单调递减，则a的取值范围为(，5；(3)若f(x)在5,5上单调，则a的取值范围为(，55，)；(4)若f(x)在5,5上不单调，则a的取值范围为(5，5). 因为f(x)x22ax2(xa)22a2的图象的对称轴为xa.(1)若f(x)在5,5上单调递增
5、，则a5，所以a5，所以a的取值范围为5，)(2)若f(x)在5,5上单调递减，则a5，所以a5，所以a的取值范围为(，5(3)若f(x)在5,5上单调，则a5或a5，所以a5或a5.所以a的取值范围为(，55，)(4)若f(x)在5,5上不单调，则5a5，所以5a5，所以a的取值范围为(5,5) 轴定区间定的二次函数的最值若实数x，y满足x24y24x，则Sx2y2的取值范围为_ 由x24y24x，得y2x，所以Sx2y2x2(x)x2x.因为y2x0，得x0,4，所以问题转化为求二次函数Sx2x在区间0,4上的最大值与最小值因为对称轴x0，所以函数在此区间上为增函数，所以SminS(0)0
6、，SmaxS(4)16.故所求S的取值范围为0,16 0,16 (1)求解本题的关键有两点：其一是二元函数化为一元函数；其二是找到x的范围然后将其转化为二次函数在闭区间上的最值问题(2)一般地，对二次函数f(x)a(xk)2h (a0)在区间m，n上的最值问题的讨论，要注意如下几点：方法：数形结合法；依据：函数的单调性；关键：抓住对称轴的位置进行讨论2(2017北京卷)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是，1. (方法一)由xy1，得y1x.又x0，y0，所以0x1，x2y2x2(1x)22x22x12(x)2.由0x1，得0(x)2，即x2y21.所以x2y2，1(方法二)x2y
7、2(xy)22xy，已知x0，y0，xy1，所以x2y212xy.因为1xy2，所以0xy，所以12xy1，即x2y2，1(方法三)依题意，x2y2可视为原点到线段xy10(x0，y0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x2y2)min()2，(x2y2)max|OA|2|OB|21.故x2y2，1 轴动或区间动的二次函数的最值 (经典真题)设函数f(x)x2axb(a，bR)当b1时，求函数f(x)在1,1上的最小值g(a)的表达式 当b1时，f(x)(x)21，故函数的对称轴为直线x.当a2时，f(x)在1,1上递减，所以g(a)f(1)a2.当22时，f(x)在1,1上递增，所以g(a)
8、f(1)a2.综上，g(a) 对于轴动或区间动的二次函数在闭区间上的最值问题，要注意抓住对称轴与所给区间的位置关系及二次函数的单调性进行分类讨论3函数f(x)x22x2在区间t，t1上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式及其最值 f(x)(x1)21.当tt1，f(x)在t，t1上单调递减，所以g(t)f(t1)t21，如图(1)；当0t1时，x1t，t1，所以x1时，g(t)f(1)1，如图(2)；当t1时，x1t，f(x)在t，t1上单调递增，所以g(t)f(t)(t1)21，如图(3)，所以g(t)g(t)min1，g(t)无最大值1对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满
9、足a0，当题目条件未说明a0时，就要分a0和a0进行讨论2二次函数的重要性质是单调性和对称性，因此，研究二次函数的性质，要特别注意对称轴的位置3对二次函数yax2bxc在m，n上的最值的研究是本节内容的重点，同时也是高考的热点，对如下结论必须熟练掌握：(1)当xm，n时，是它的一个最值，另一个最值在区间端点处取得(2)当x m，n时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得4二次函数在某个区间上的最值问题的处理，常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想方法当二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的，需要考察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类求解和讨论
