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1、第十九章含参量积分,1 含参量正常积分,2 含参量反常积分,3 欧拉积分,上的连续函数,确定了一个定义在a, b上的函数,x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.,1 含参量正常积分,一般地，设 f (x, y ) 为区域,上的二元函数, c ( x ), d ( x ) 在 a, b 连续，定义,含参量的积分,下面讨论含参量积分的连续性、,可微性和可积性.,在a, b上连续.,连续性定理,只要,就有,则含参变量的积分,即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序,是可交换的，或说可在积分号下取极限 .,上连续, 则,在a, b上连续.,定理19.2（连续性） 如果函数 在区域,上连续，又函数
2、 与 在区间 上连续，,则函数,在 a, b 上连续.,于是,从而,因为,在矩形 a, b 0, 1 上连续，由定理 19.1得,在 a, b 上连续,都在,可微性定理,分析: 要证,对任意的,证:,所以,因此,从而一致连续，即,因此,故 I ( x ) 在 x 可导，且,由 x 的任意性，及定理 19.1知I ( x ) 在 a, b,有连续的导函数.,在定理的条件下,求导和求积分可交换次序,也说可在积分号下求导数,定理19.4（可微性）,如果函数,在 a, b 上可微，且,证:,把 F ( x )看作复合函数：,由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有,定理19.5 (可积性),在a, b上可积.,上连续, 则函数,在c, d上可积.,可积性定理,记,统称为累次积分或二次积分.,问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有,其中,于是,即得,取 u = b , 就得,例2.,显然,于是由定理19.3,故,因此得,例3.,验证当 | x | 充分小时, 函数,的 n 阶导数存在, 且,证:令,即,同理,当 x = 0 时，有,例4.,例5.,解:,内容小结,在a, b上连续、可积.,在c, d上连续、可积.,且,若,在a, b上可微，且.,若,在c, d上可微，且.,
