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1、相似三角形在高中物理试题中的应用 陈庆威 2013.7.22 高中物理中我们常会用到一些数学知识来解决一些与生活实际相关的事情。在高考的考试说明中明确指出，要求学生能应用学过的数学知识处理物理问题。如三角函数、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形等。 其中“相似三角形法”指的是在对物体进行受力分析（尤其是准平衡态，即动态平衡过程）时找到两个相似三角形，其中一个三角形的边长表示长度（我们称之为“几何三角形”），另一个三角形的边长表示力的大小（我们称之为“矢量三角形”）。利用相似三角形法解题，往往能起到化繁为简，化难为易的良好效果。现把高中物理中常遇到的此类问题总结如下：例1、半径为的球形物
2、体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面的距离为，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由到的过程中，半球对小球的支持力和绳对小球的拉力的大小变化的情况是（）、变大，变小、变小，变大、变小，先变小后变大、不变，变小解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力不变，支持力，绳子的拉力一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力的大小和方向、绳子的拉力的大小和方向，所以还要利用其它条件。实
3、物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：可得：运动过程中变小，变小。运动中各量均为定值，支持力不变。正确答案D。例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的处由一固定的质点，在的正上方的点用细线悬挂一质点，、两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成角，由于漏电使、两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点的拉力大小（）、变小、变大、不变、无法确定解析：有漏电现象，减小，则漏电瞬间质点的静止状态被打破，必定向下运动。对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析有如图2-2所示，由于漏电过程缓慢进行，则
4、任意时刻均可视为平衡状态。三力作用构成动态下的封闭三角形，而对应的实物质点、及绳墙和点构成动态封闭三角形，且有如图2-3不同位置时阴影三角形的相似情况，则有如下相似比例：可得：变化过程、均为定值，所以不变。正确答案。以上两例题均通过相似关系求解，相对平衡关系求解要直观、简洁得多，有些问题也可以直接通过图示关系得出结论。例3. 如图1所示，支架ABC，其中，在B点挂一重物，求AB、BC上的受力。解：受力分析如图2所示，杆AB受到拉力作用为，杆BC受到支持力为，这两个力的合力与重力G等大反向，显然由矢量构造的三角形与图1中相似，由对应边成比例得： 把代入上式，可解得，。例4. 如图3所示，长为5m
5、的细绳的两端分别系于竖立的地面上相距为4m的两杆的顶端A、B上，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体。平衡时，绳中的张力T=_N。解：受力分析，如图4所示。因轻质挂钩光滑，所以AO、BO两段绳的拉力相等，设均为T，且这两个力的合力与重力G等大反向。现在构建相似三角形，如图3所示，延长AO交左杆于，不难证明，又过作右杆的垂线交于，显然，图3、图4两图中阴影部分的三角形相似，又依题意知，。由相似三角形对应边成比例得：，代入数据解得。图4例5. 两根等长的轻绳，下端结于一点挂一质量为m的物体，上端固定在天花板上相距为S的两点上，已知两绳能承受的最大拉力均为T，则每根绳长度不得短于多
6、少？解：因为天花板水平，两绳又等长，所以受力相等。又因MN两点距离为S固定，所以绳子越短，两绳张角越大，当合力一定时，绳的张力越大。设绳子张力为T时，长度为L，受力分析如图6所示。在图5中过O点作MN的垂线，垂足为P，显然，图5、图6两图中阴影部分的三角形相似，由对应边成比例得： 解得：例6：如图所示，竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用丝线悬另一质点B，A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成角，由于漏电使A、B两质点的带电荷量逐渐减少，在电荷漏电完之前悬线对悬点P的拉力大小（ ） A. 变小B. 变大C. 不变D. 无法确定解：受力分析如图所示，设PAL，
7、PBl 由几何知识知：APBBDC 因为T和T是作用力和反作用力，故TT，故选CF1GF2图1-3例7 如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？图1-2GF1F2图1-1解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动
8、态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F2。由此可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。例8一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2-1所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( )AFN先减小，后增大 B.FN始终不变CF先减小，后增大 D.F始终不变AFBOGFNFLlH图2-2AFBO图2-1解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将F
9、N与G合成，其合力与F等值反向，如图2-2所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对应边成比例可得：(如图2-2所示，设AO高为H，BO长为L，绳长l,)，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小。正确答案为选项B例9：如图2-3所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是( D )。ACBO图2-
10、3(A)N变大，T变小，(B)N变小，T变大(C)N变小，T先变小后变大(D)N不变，T变小此题是一道典型的利用相似三角形解题的方法,这种方法很巧妙,当然同学也可以用三角函数求解.解析：首先对这个小球进行受力分析,找出那些力是始终不变,我们可以知道重力的大小和方向始终是不发生改变,在根据力构成的三角形和绳子、半球组成的三角形相似,列出mg/h+r=N/r=T/L,在拉动的过程当中,重力mg是不变的,h+R、R都是不变的,那么拉动绳子后,L会变小,那么保持等式成立,拉力T就必须减小才满足例10、如图3-1所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针转过90，且保持两绳之间的夹
11、角不变，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则（ ）。(A)F1先减小后增大(B)F1先增大后减小 (C)F2逐渐减小F1F2F3CDEDDD图3-3(D)F2最终变为零ABaOGF1F2F3图3-2ABaOG图3-1解析：取绳子结点O为研究对角，受到三根绳的拉力，如图3-2所示分别为F1、F2、F3，将三力构成矢量三角形(如图3-3所示的实线三角形CDE)，需满足力F3大小、方向不变，角 CDE不变(因为角不变)，由于角DCE为直角，则三力的几何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的三角形。由此可知，F1先
12、增大后减小，F2随始终减小，且转过90时，当好为零。正确答案选项为B、C、DMNO图3-4例11如图3-4所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M、N两个测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O点，此时+= 90然后保持M的读数不变，而使角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（ A ）。(A)减小N的读数同时减小角(B)减小N的读数同时增大角(C)增大N的读数同时增大角(D)增大N的读数同时减小角例12如图4-1所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G=40N，绳长L=2.5m，OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：（1）当B点位置固定
13、，A端缓慢左移时，绳中张力如何变化？（2）当A点位置固定，B端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？ABCGDF1F2F3O图42图41ABCGOABCGDF1F2F3OCB图44ABCGDF1F2F3OAD图43解析：取绳子c点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图4-2所示分别为F1、F2、F3，延长绳AO交竖直墙于D点，由于是同一根轻绳，可得：，BC长度等于CD，AD长度等于绳长。设角OAD为；根据三个力平衡可得： ；在三角形AOD中可知，。如果A端左移，AD变为如图43中虚线AD所示，可知AD不变，OD减小，减小，F1变大。如果B端下移，BC变为如图44虚线BC所示，可知AD、OD不变，不变，F1不变。同巩固练习：1、如图所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为(B) AF1F2 BF1F2 CF1F2 D无法确
