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1、数列基础知识点总结及训练A、1概念与公式：等差数列：1.定义：若数列称等差数列； 2.通项公式： 3.前n项和公式：公式：等比数列：1.定义若数列（常数），则称等比数列；2.通项公式：3.前n项和公式：当q=1时2简单性质：首尾项性质：设数列1.若是等差数列，则2.若是等比数列，则中项及性质：1.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且2.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且设p、q、r、s为正整数，且1. 若是等差数列，则 2. 若是等比数列，则顺次n项和性质：1.若是公差为d的等差数列，组成公差为n2d的等差数列；2. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数
2、列.（注意：当q=1，n为偶数时这个结论不成立）若是等比数列，则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.若是公差为d的等差数列,1.若n为奇数，则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2.若n为偶数，则（二）学习要点：1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差d0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;公差d0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;公比q1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝
3、对不能用课外的需要证明的性质解题.3巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或，a,aq)”四数成等差数列，可设四数为“”四数成等比数列，可设四数为“”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 由递推公式求通项公式的方法一、型数列，（其中不是常值函数) 此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累加，变成，进而求解。例1. 在数列中,解：依题意有逐项累加有，从而。二、型数列，（其中不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是
4、将通项变形为，从而就有将上述个式子累乘，变成，进而求解。例2. 已知数列中，求的通项公式。解：当时，将这个式子累乘，得到，从而，当时，所以。三、型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用作差法直接构造，,，两式相减有，所以是公比为的等比数列。例3. 在数列中，当时，有，求的通项公式。解法1：设，即有对比，得，于是得，即所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列 则。解法2：由已知递推式，得， 上述两式相减，得，即因此，数列是以为首项，以3为公比的等
5、比数列。所以，即，所以。四、型数列（p为常数）此类数列可变形为，则可用累加法求出，由此求得.例4已知数列满足,求. 解:将已知递推式两边同除以得,设,故有，,从而.例5已知数列满足解:作,则,代入已知递推式中得:.令 这时且显然,所以.五、型数列（为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。例6已知数列满足,求.解:两边取倒数得:,所以，故有。六、型数列（为常数）这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。例7数列中，且，求.C、求数列前项和一. 公式法: 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。(1) 等差：; 等比
6、：;(2) ; 数列部分测试题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在2.、在等差数列中，,且,成等比数列，则的通项公式为 （ ）（A） （B） （C）或 （D）或3、已知成等比数列，且分别为与、与的等差中项，则的值为 （ ）（A） （B） （C） （D） 不确定4、互不相等的三个正数成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，三个数（ ）（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列的前
7、项和为,则此数列的通项公式为 （ ）（A） （B） （C） （D）6、已知，则 （ ）（A）成等差数列 （B）成等比数列 （C）成等差数列 （D）成等比数列7、数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有 （ ）一定是等比数列，但不可能是等差数列 一定是等差数列，但不可能是等比数列 可能是等比数列，也可能是等差数列 可能既不是等差数列，又不是等比数列 可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C）2 （D）18、数列1,前n项和为 （ ）（A） （B） （C） （D）9、若两个等差数列、的前项和分别为 、，且满足，则的值为 （ ）（A） （B） （C） （D）10、已知数列的前
8、项和为,则数列的前10项和为 （ ）（A）56 （B）58 （C）62 （D）6011、 已知数列的通项公式为, 从中依次取出第3，9，27，3n, 项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为 （ ）（A） （B） （C） （D）12、下列命题中是真命题的是 ( )A数列是等差数列的充要条件是()B已知一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C数列是等比数列的充要条件D如果一个数列的前项和,则此数列是等比数列的充要条件是二、填空题13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比= 14、已知等差数列，公差,成等比数列，则= 15、已知数列满足,则= 1
9、6、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 三、解答题17、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列， ，求公比及。18、已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于 , ，,求。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。20、已知为等比数列，求的通项式。21、数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求22、已知数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）若数列满足，证明：是等差数列； 数列部分参考答案一、 选择题
10、题号123456789101112答案BDCAAACADDDD二、 填空题13. 14. 15. 16. 6三、解答题17.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d 由abn为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4 又由abn是an中的第bna项，及abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1 bn=34n-1-218. a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 , a1(1-3d2)=-2d a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , a1(1-5d4)=-4d ,得
11、=2， d2=1或d2=,由题意，d=,a1=-。an=a1+(n-1)d=(n-6) bn=a1dn-1=-()n-119.设这四个数为则 由，得a3=216,a=6 代入，得3aq=36,q=2 这四个数为3，6，12，1820.解: 设等比数列an的公比为q, 则q0, a2= = , a4=a3q=2q所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 当q1=, a1=18.所以 an=18()n1= = 233n. 当q=3时, a1= , 所以an=3n1=23n3.21.解：(I)由可得，两式相减得又 故是首项为，公比为得等比数列 （）设的公差为由得，可得，可得故可设又由题意可得解得等差数列的各项为正，22（I）：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一：，得即 ，得即 是等差数列。9
