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1、,1.3.1函数的单调性与导数,复习,1 、 某点处导数的定义,这一点处的导数即为这一点处切线的斜率,2 、 某点处导数的几何意义,引例、 已知函数y=2x3-6x2+7, 求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递减的.,问题：怎样利用函数单调性的定义 来讨论或证明其在定义域的单调性,判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 (2) 图象法,一般地，设函数y f(x) 的定义域为A，区间I A,如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1x2时，都 有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数， I称为yf(x)的单调增区间,如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1
2、x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间,若函数yf(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数yf(x) 在区间I上具有单调性单调增区间和单调减区间统称为单调区间,1、单调增函数与单调减函数,区间I,任意,当x1x2时，都,有f(x1)f(x2),2、单调性、单调区间,一、复习回顾：,2由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、x2是给定区间的任意两个值， 且x1 x2. (2)作差f(x1)f(x2)，并变形. (3)判断差的符号，从而得函数的单调性.,发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦
3、，尤其是在不知道函数图象时.,探究:观察下列图象的单调区间, 并求单调区间相应的导数.,探究:观察下列4个函数的图象,写出它们的单调区间,并求出每个区间导数的正负. 你能得出函数的单调性与其导函数的正负关系吗?,在x(-,0)内图象是单调下降的.,在x( 0,+)内图象是单调上升的.,图象是单调上升的.,图象是单调上升的.,.,在x(-,0)内图象是单调下降的,在x( 0,+)内图象是单调下降的.,结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f(x)0, 则f(x)为增函数; 如果f(x)0, 则f(x)为减函数.,结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关
4、，即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性。现举例说明：,注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0, 则f(x)为常数函数.,练习:f(x) 0是 函数f(x)为增函数的_ 条件.,必要不充分,例1.确定函数 在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？,解: (1)求函数的定义域 函数f (x)的定义域是( ,),（2）求函数的导数,（3）令 以及 求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。,令2x40,解得x2x(2,)时， 是增函数 令2x40,解得x2x(-,2)时， 是减函数,思考：能不能用其他方法解？,解：取x1f(x2)， 所以 y=f(x)在区间(-,2)单调递减。 当20， f(x
5、1)f(x2)， 所以 y=f(x)在区间(2,+)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+） y=f(x)单调递减区间为（，2）。,法二:函数单调性的定义,两种方法对比:导数法简便,易掌握;而定义法复杂.以后遇到函数单调性问题首选导数法.,结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f(x)0, 则f(x)为增函数; 如果f(x)0, 则f(x)为减函数.,注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0, 则f(x)为常数函数.,练习:f(x) 0是 函数f(x)为增函数的_ 条件.,必要不充分,知识点：,定理： 一般地，函数yf（x）在某个区间内可导： 如果
6、恒有 ，则 f(x)在是增函数。 如果恒有 ，则 f(x)是减函数。 如果恒有 ，则 f(x)是常数。,f(x)0,f(x)0,f(x)0,用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的定义域；（2）求导数f (x)； （3）令f (x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间；令f (x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间.,注：单调区间不以“并集”出现。,步骤：,练习一:确定下列函数的单调区间: (1) f(x)=x2-2x+4,(2) f(x)=3x-x3,说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间不能用 连接，只能分开写，或者可用“和”连接。,单调递减区间
7、为 单调递增区间为,单调递减区间为 单调递增区间为,递减区间为 递增区间为,例2、已知导函数 的下列信息： 当14,或x1时， 当x=4,或x=1时， 试画出函数f(x)图象的大致形状。,4,1,解：由题意可知:,当x=4,或x=1时， f(x)=0, 两点为“临界点”,f(x)为增函数,f(x)为减函数,思考:根据导数的信息画出的函数图象唯一吗?,不唯一,对应练习:课本练习2,优化P34 1-2,例2(3) f(x)=sinx-x ; x(0,p),解： =cosx-10,从而函数f(x)=sinx-x 在x(0,)单调递减， 见右图。,练习：求证： 内是减函数,A,令,D,练习二:高考链接
8、,例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。,练习4 如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90o)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是（ ）。,D,五、小结:,2.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.,1.在利用导数讨论函数的单调性时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间，或证明函数的单调性.,判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法 (3) 图象法,3.用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的定义域； （2）求出函数的导函数； （3）求解不等式f (x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递增区间； 求解不等式f (x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间。,注：单调区间不以“并集”出现。,巩固提高：,作业:,1.课本:,
