微积分第一章函数

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1、2019/7/20,微积分,2019/7/20,利用数学定量分析已成为经济学整个理论体系中的重要组成部分。例如：极限在连续复利问题中的应用、导数在边际和弹性经济变量中的应用、积分在消费者剩余和求总函数中的运用。 更为重要的是：经济学依靠边际方法与思想来进行决策，依靠各种形式的数学模型来推导经济学的基本理论。,2019/7/20,微积分主要分为微分学与积分学两部分。,极限概念是微积分的基石，微分学与积分学 都借助极限方法来描述基本概念。,微积分的研究对象是变量以及反映变量之间 相互依赖关系的函数。,微积分知识体系逻辑结构：,2019/7/20,级,数,穷,无,2019/7/20,第一章 函数,1

2、.1 函数及其性质,1.2 经济函数介绍,2019/7/20,1.1 函数及其性质,一、区间与邻域,1.区间 设a和b都是实数，且ab （1）满足不等式axb的所有实数x的集合，称为以a，b为端点的开区间，记作(a，b) 即 (a，b)=x| axb,（2）满足不等式axb的所有实数x的集合，称为以a，b为端点的闭区间，记作a, b 即 a, b=x| axb,a,b,a,b,x,x,2019/7/20,（3）满足不等式axb或axb的所有实数x的集合，称为以a，b为端点的半开半闭区间，记作(a,b或a,b)。 即 (a,b=x| axb 或 a,b)=x| axb,a,b,b,a,x,a,以

3、上三类区间为有限区间，有限区间的长度为b-a， 除此之外，还有下面几类无限区间：,2019/7/20,（4）,（,（5）,（6）,（7）,（8）,即全体实数的集合R,2019/7/20,2、邻域,2019/7/20,2019/7/20,二、函数的概念,定义1：已知变量 与变量 ，当变量 在非空集合 内任取一个确定的值时，变量 按照一定的对应规则 有唯一确定的值与之对应，则称 是 的函数，记为,其中变量 称为自变量，它的取值范围 称为函数的定义域；变量 称为因变量，它的取值范围称为函数的值域，用 表示，“ ”称为对应规则（或函数关系）.,2019/7/20,函数概念的两个要素,定义域 对应关系,

4、1、函数定义域的求法：（不考虑实际意义）,求定义域D的准则：,（1）分式的分母不为零;,（2）负数不能开偶次方;,2019/7/20,(6) 若上述若干种情况同时出现在同一个函数表达,式中,则各自变量取值范围的公共部分(即交集)为函,数的定义域.,2019/7/20,例1 求函数 的定义域,解：由题意知：,公共部分为：,即定义域：,2019/7/20,例2,解：由题意知：,要使不等式组有解，即定义域D不为空集，同时题设,此时， 的取值范围是：,2019/7/20,例3,解:,2019/7/20,通常求D都是指求函数的自然定义域(即不考虑 实际意义,只要函数式有意义的自变量的取值范围), 写函数

5、式时D也常不注明,如果函数的定义域不是它的 自然定义域,则其定义域必须与函数式一同写出,不可 省略.如:,2019/7/20,当自变量 取某一值 时，函数 对应的值称为函数 在 = 处的函数值，记为 ,即,2、函数值、对应关系的求法,（1）函数值的求法：,例4,2019/7/20,解:,2019/7/20,2019/7/20,（2）对应关系的求法：换元法，凑变量法.,例5,解一:,2019/7/20,解二:,2019/7/20,例6 已知,2019/7/20,3、两个函数相同,例7 判断下列各对函数是否相同：,如果两个函数的定义域和对应规则相同， 则称这两个函数是相同的函数，否则它们为 不同的

6、函数。,2019/7/20,解:,2019/7/20,2019/7/20,4、函数的表示方法,列表法,图示法,公式法,2019/7/20,三、函数的一些几何特性,1、函数的奇偶性,定义2,2019/7/20,注意,偶函数的图形关于y轴对称， 奇函数的图形关于原点对称。,一般地函数按奇偶性分类可为: 奇函数、偶函数、非奇非偶函数。,奇函数和偶函数仅仅是函数中的一类特殊 的函数，多数情形下，函数并不具有奇偶性。,2019/7/20,例8 判断下列函数的奇偶性,2019/7/20,2019/7/20,任意一个定义在 内的函数 都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和.,证: 令,2019/7/20,2

7、、函数的周期性,注意,如果这样的正数有多个，则周期T 取其中最小的.,定义3,2019/7/20,3、函数的有界性,定义4,2019/7/20,注意,2019/7/20,4、函数的单调性,定义5,2019/7/20,单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数； 单调增加区间与单调减少区间统称为单调区间.,注意,2019/7/20,单调增加时函数的图形沿x轴正方向逐渐上升,单调减少时函数的图象沿x轴正方向逐渐下降,2019/7/20,例9,2019/7/20,四、反函数,定义6,2019/7/20,2019/7/20,反函数存在定理,函数单调只是反函数存在的充分条件，并非必要条件。,注意,定理1,

8、定理2,2019/7/20,五、初等函数,1、基本初等函数,常量函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,2019/7/20,（1）常量函数 y=c （c为常数） 它的定义域是（-，+），图形为平行于x轴，截距为c的直线.,（2）幂函数 （ 为任意常数） 它的定义域随 而异，但不论 为何值，它在（0，+）内总有定义,且图形都经过（1,1）点.,(1,1),2019/7/20,2019/7/20,（3）指数函数y=ax (a0,a1) 它的定义域（-,+），值域为 （0,+），图形通过（0，1）点， 且总在x轴上方. 当a1时，函数单调增加. 当00,a1） 它的定义域为（0,+）

9、，图形都 通过（1，0）点，且总在y轴的右 方，当a1时，函数单调增加， 当0a1时，函数单调减少，对数 函数与指数函数互为反函数.,(a1),y=ax,(0a1),(0,1),2019/7/20,（5）三角函数 常用的三角函数有y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx y=sinx与y=cosx的定义域为（-,+），且都是以2 为周期的周期函数,值域为-1,1,都是有界函数. y=sinx为奇函数，y=cosx为偶函数 y=cosx的图象 y=sinx的图象,2019/7/20,y=tanx的定义域为,y=cotx的定义域为,它们都是奇函数,且均以为周期,它们的值域(-,+)

10、y=tanx的图象,2019/7/20,y=cotx的图象,另外，还有两个三角函数,2019/7/20,（6）反三角函数 由于三角函数在定义域内不是一一对应的，因此，三角函数在定义域内不存在反函数，但是，如果在定义域内选取一个区间I，使三角函数在区间I内（上）一一对应，则三角函数在区间I内（上）也存在反函数.,对于y=sinx而言，在定义域内选取一个区间 ，y=sinx在 上一一对应。,称为反正弦函数，其定义域为-1，1，值域为 ，是单调增加函数.,以上为y=sinx在 上图象,y=arcsinx的图象,因此，y=sinx在 上存在反函数x=arcsiny，改写y=arcsinx,2019/7

11、/20,y=arctanx是y=tanx x 的反函数称为反正切函数,定义域为(-,+),值域 是单调增加函数.,y=arccosx图象,同理， y=arccosx 是y=cosx x 0,上的反函数称为反余弦函数,定义域-1,1, 值域0,是单调减少函数.,y=arctanx图象,2019/7/20,y=arccotx是y=cotx x (0,)内的反函数称为反余切函数,定义域(-,+),值域是（0,）,是单调减少函数.,由反三角函数的概念可知，y=arcsinx和y=arctanx为奇函数. y=arccosx和y=arccotx为非奇非偶函数，所有的反三角函数均为有界函数,y=arcco

12、tx图象,2019/7/20,2019/7/20,2.复合函数,定义7,注意,复合函数就是在一定条件下将一个函数代入另一个函数得到的新函数.,例如:,2019/7/20,复合函数可以复合多次,即在一定条件下可由多个中间变量复合而成.,例9,利用复合函数的概念，可以将一个复合函数看成是由几个简单函数复合而成，即复合函数可以分解成几个简单函数，简单函数是指基本初等函数和有理整函数（多项式函数）,2019/7/20,例10,解:,2019/7/20,3.初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算 或有限次复合所得到的，且可以用一 个公式表示的函数统称为初等函数.,例11,2019/7/20,解:,本

13、课程讨论的函数绝大多数是初等函数.,2019/7/20,六 、 分段函数,分段函数一般不是初等函数.,注意,2019/7/20,例12 设分段函数,解:,2019/7/20,2019/7/20,2019/7/20,1.2 经济函数介绍,一、需求函数,2019/7/20,二、供给函数,注意,由于需求量随价格增加而减少， 所以需求函数是单调减少的。,2019/7/20,三、市场均衡,当某商品的需求量等于供给量时，我们称该商品处于市场均衡状态，此时的价格称为该商品的均衡价格，此时的需求量（供给量）称为该商品的均衡量. 商品的均衡量和均衡价格相当于需求曲线和供给曲线交点的坐标.,一般来说，市场均衡表示

14、此时的需求量、 供给量、产量、销量均相等，因而市场均衡 又称为供求平衡或产销平衡.,如图(见下页),2019/7/20,2019/7/20,四、总成本函数,2019/7/20,注意,平均成本函数一般不是单调函数.,2019/7/20,例1,解:,2019/7/20,2019/7/20,五、收益函数,收益函数：生产者出售一定数量的产品所得 到的全部收入。它是销量与价格的乘积,注,2019/7/20,例2,解:,2019/7/20,2019/7/20,六、总利润函数,由经济理论知：利润=收益-成本,2019/7/20,2019/7/20,例3,解:,2019/7/20,2019/7/20,练一练,设某产品的需求函数为,为需求量,若固定成本为1万元,多生产一个单位产 品成本增加5万元,假定产销平衡, 求: （）总成本函数， （）收益函数， （）总利润函数,为价格（单位：万元），,2019/7/20,解 答,2019/7/20,七、库存函数：全年存货成本与批量的 函数关系,2019/7/20,2019/7/20,例5,解:,2019/7/20,1.P17,T6 2.P22,T3,作业,