《高中数学必修2第四章圆与方程课件--411圆标准方程-人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修2第四章圆与方程课件--411圆标准方程-人教a版（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆的标准方程,4.1.1,我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,问题,当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了 因此一个圆最基本要素是圆心和半径,引入新课,如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离,符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？,符合上述条件的圆的集合：,圆的方程,问题,圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？,圆的方程,根据两点间距离公式：,则点M、A间
2、的距离为：,即：,是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？,圆的标准方程,点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上,问题,把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.,注意以下三点：,1已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2. 2当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2=r2. 3圆的标准方程
3、的优点在于明确地指出了圆心和半径.,点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么？通过比较点到圆心的距离和半径r的大小关系,探究,点M0在圆上,点M0在圆内,点M0在圆外,解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：,把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；,典型例题,例1. 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上,把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等， 点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上,例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上,解：圆心是 ，半径
4、长等于5的圆的标准方程是：,典型例题,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程,分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解：设所求圆的方程是 （1）,因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）于是,典型例题,所以， 的外接圆的方程 ,典型例题,解此方程组，得：,分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解：,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程,小结:,1圆的标准方程中含有三个参变数，必须具
5、备三个独立的条件；才能定出一个圆的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程。,2求圆的标准方程的一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为 (xa)2+(yb)2=r2；,（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解此方程组，求出a、b、r的值； （4）将所得的a、b、r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.,例3、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2) 圆心C在直线l: x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准
6、方程,分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，由于圆心C与A, B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上又圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|,解：因为A(1, 1)和B(2, 2)，所以线段AB的中点D的坐标,直线AB的斜率:,因此线段AB的垂直平分线 的方程是,即,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,解：,所以圆心C的坐标是,圆心为C的圆的半径长,所以，圆心为C的圆的标准方程是,解此方
7、程组，得,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,解：,练习: （1）圆心在点C(2,1)并过点A(2,2)； （2）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 . (3)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程， 并判断M(6，9)和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内?,（1）圆心在点C(2，1)，并过点A(2，2)；,解：（1）所求圆的半径r=|CA|=5，因为圆心在点C(2，1)，所以所求圆的方程为(x+2)2+(y1)2=25.,（2）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 .,解
8、：（2）设圆心坐标为(a，b)，则圆的方程为(xa)2+(yb)2=5.,已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的方程得,解得,或,因此所求圆的方程为(x1)2+(y+1)2=5或(x1)2+(y3)2=5。,(3)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9)和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内?,解：由已知得圆心坐标为C(5，6)，半径r的平方为r2=10,所以圆的方程为(x5)2+(y6)2=10，,将M，N点的坐标代入方程得,(65)2+(96)2=10，(55)2+(36)210,所以点M在圆上，点N在圆内.,例4求过点A(6，0)，
9、B(1，5)，且圆心在直线l：2x7y+8=0上的圆的方程。,解法1. 直线AB的斜率k=1，所以AB的垂直平分线m的斜率为1，,AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x= ，y= .,因此直线m的方程为y =x ， 即xy1=0.,又圆心在直线l上，所以圆心是直线l与直线m的交点，解联立方程组,得,所以圆心的坐标是C(3，2)，半径r=|CA|= ，,所以圆的方程是(x3)2+(y2)2=13.,解法2. 设所求的圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2，由题意得,解得,所以圆的方程是(x3)2+(y2)2=13.,练习题：,1圆(x1)2+(y+1)2=2的周长是（ ） （A） （B）2 （C）2
10、 （D）4,C,2圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（ ） （A）x2+y2=25 （B）x2+y2=5 （C）(x3)2+(y4)2=25， （D）(x+3)2+(y+4)2=25，,C,3已知圆心在P(2，3)并且与y轴相切，则该圆的方程是（ ） （A）(x2)2+(y+3)2=4 （B）(x+2)2+(y3)2=4 （C）(x2)2+(y+3)2=9 （D）(x+2)2+(y3)2=9,B,4过点A(1，1)，B(5，6)且圆心在直线x+y2=0上的圆的方程为（ ） （A）(x3)2+(y+1)2=4 （B）(x+3)2+(y1)2=4 （C）(x1)2+(y1)2=4 （D）(x+1)2+(y+1)2=4,C,5以(A(1，2)，B(5，6)为直径端点的圆的方程 是 。,(x2)2+(y4)2=13,6圆心在 3xy=0 上与x轴相切并且被直线 y=x 截得的弦长为 2 的圆的方程是 。,(x1)2+(y3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9,知识小结,圆的基本要素,
