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1、自 学 导 引,1.掌握圆的标准方程及其特点,会根据圆心的位置和半径写出圆的标准方程. 2.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程. 3.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.,课 前 热 身,1.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则圆的标准方程是_.当圆的圆心在坐标原点时,圆的半径为r,则圆的标准方程是_. 2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,点P在圆外_;点P在圆上_;点P在圆内_.,(x-a)2+(y-b)2=r2,x2+y2=r2,dr,d=r,dr,名 师 讲 解,1.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内圆上圆外.其判断方法是由两点间的距离公式,求出该点
2、到圆心的距离,再与圆的半径比较大小即可. 设点P(x0,y0)到圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心C的距离为d,则 所以当dr,即当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点P在圆C的外部;当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点P在圆C的内部;当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点P在圆C上.反之也成立.,2.求圆的标准方程的常用方法 (1)几何法 利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程得结果. (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:先设方程,再列式,
3、后求解.,典 例 剖 析,题型一 求圆的标准方程 例1:求满足下列条件的圆的标准方程 (1)圆心在原点,半径为3; (2)圆心在点(-2,1),半径为 (3)经过点P(5,1),圆心在点(8,-3). 分析:(1)(2)直接写圆的方程,(3)可根据两点间的距离公式求半径,再写出圆的标准方程.,解:(1)圆心(0,0),半径为3, 圆的方程为x2+y2=9. (2)圆心(-2,1),半径 圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5. (3)方法1:圆的半径 又圆心为(8,-3), 圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.,方法2:圆心为(8,-3),故可设圆的方程为 (x-8)2+(y+3)2
4、=r2, 点P(5,1)在圆上, (5-8) 2+(1+3) 2=r2,r2=25. 所求圆的方程为(x-8) 2+(y+3) 2=25.,规律技巧:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r, 只要求出abr,这时圆的方程被确定,因此,确定圆的方程,需 要三个独立条件,其中圆心(a,b)是定位条件,半径r是定形条件.,变式训练1:指出下列圆的圆心和半径 (1)x2+y2=3; (2)(x-1) 2+y2=9; (3)(x+1) 2+(y-2) 2=1. 答案:(1)圆心(0,0), (2)圆心(1,0),r=3. (3)圆心(-1,2),r=1.,题型二 用待定系数
5、法求圆的方程 例2:求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程. 分析:因为条件与圆心有直接关系,因此设圆的标准方程即可解决问题.,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.,解法2:圆过A(5,2),B(3,-2)两点, 圆心一定在线段AB的垂直平分线上.,规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准定参数”是解题的基本方法.其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式,进而确定其中三个参数.,变式训练2:求圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3)的圆的标准方程. 解:设圆心在x轴上,半径为5的圆的方程为 (x-a)2+y2=52. 点A在圆上,
6、(2-a) 2+(-3) 2=25. a=-2或a=6. 故所求圆的方程为 (x+2) 2+y2=25或(x-6) 2+y2=25.,题型三 点和圆的位置关系 例3:已知圆心C(3,4),半径r=5,求此圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)在圆上圆外还是圆内. 解法1:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4) 2=25. 点A(0,0)与圆心C(3,4)的距离d=5, 而r=5,d=r,点A在圆上. 点B(1,3)与圆心C(3,4)的距离 点B在圆内.,解法2:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4) 2=25, 将点A(0,0),B(1,3)分别代入圆的方程,得 (0-3) 2+(0
7、-4) 2=25,(1-3) 2+(3-4) 2=525, 点A在圆上,点B在圆内.,规律技巧:判断点与圆的位置关系,通常用两种方法,一种是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判定,当dr时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当dr2,则点P在圆外,若(x-x0) 2+(y-y0) 2=r2,则点P在圆上;若(x-x0) 2+(y-y0) 2r2,则点P在圆内.,变式训练3:已知点A(1,2)在圆C:(x+a)2+(y-a)2=2a2的内部,求a的取值范围. 解:点A(1,2)在圆的内部, (1+a)2+(2-a)2 a的取值范围是,易错探究 例4:已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所
8、得线段长为8,求该圆的标准方程. 错解:TP俗67.tif,Y如图,由题设知|AB|=8,|AC|=5. 在RtAOC中, C点坐标(3,0), 所求圆的方程为(x-3)2+y2=25.,错因分析:借助图形解决数学问题,只能是定性地分析,而不能定量研究,要定量研究问题,就应考虑到几何图形的各种情况,本题出错就是由于考虑问题不全面所致,由于只画了圆心在x轴正半轴的图形,从而漏掉了圆心在x轴负半轴的情况. 正解:由题意知,所求圆的方程可设为(x-a)2+y2=25, 圆截y轴所得线段长为8, 圆过点A(0,4)代入圆的方程得a2+16=25, a=3, 故所求圆的方程为(x+3)2+y2=25或(
9、x-3)2+y2=25.,技 能 演 练,基础强化 1.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( ) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 解析: 把P(m,5)代入x2+y2=24,得m2+2524.点P在圆外. 答案:A,2.点 与圆x2+y2=1的位置关系是( ) A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.与t的值有关 |OP|=1,点P在圆上. 答案:C,3.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别是( ) A.(-1,5), B.(1,-5), C.(-1,5),3 D.(1,-5),3 答案:B,4.已知点A(1,-1),B(-1,1
10、),则以线段AB为直径的圆的方程为( ) A.x2+y2=2 B.x2+y2= C.x2+y2=1 D.x2+y2=4 解析:AB的中点为圆心(0,0), 半径 圆的方程为x2+y2=2. 答案:A,5.方程 表示的曲线是( ) A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 解析:由 得x2+y2=9(y0), 方程 表示半个圆. 答案:D,6.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 解析:已知圆的圆心为C(1,0),易知PCAB,kPC= ,kAB=1, 依
11、点斜式知AB的方程为x-y-3=0. 答案:A,7.圆C:(x-2)2+(y+1)2=r2(r0)的圆心C到直线 4x+3y-12=0的距离是_. 解析:圆心C(2,-1),代入点到直线的距离公式,得,8.求经过点A(-1,4),B(3,2),且圆心在y轴上的圆的方程. 解:圆心在y轴上, 可设圆心坐标为(0,b),则圆的方程为: x2+(y-b)2=r2. 圆经过AB两点, 圆的方程是x2+(y-1) 2=10.,能力提升,9.一圆在x,y轴上分别截得弦长为4和14,且圆心在直线2x+3y=0上,求此圆方程. 解:设圆的圆心为(a,b),圆的半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=
12、r2. 圆在x轴,y轴上截得的弦长分别为4和14.则有 又圆心在直线2x+3y=0上, 2a+3b=0.,适合题意的圆的方程为(x-9)2+(y+6) 2=85 或(x+9) 2+(y-6) 2=85.,10.若点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=3上. (1)求 的最小值; (2)求 的最大值. 解:(1)式子 的几何意义是圆上的点P(x,y)与定点(0,2)的距离. 因为圆心(2,0)到定点(0,2)的距离是 又圆半径为 所以 的最小值为,(2)利用 的几何意义. 因为 的几何意义是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,如右图所示,易求得 的最大值为,品 味 高 考,11. 圆
13、心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 解析:依题意知圆心(0,b),圆的方程为x2+(y-b)2=1, 把点(1,2)代入,得b=2, x2+(y-2)2=1为所求. 答案:A,12. 点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A.(x-2) 2+(y+1) 2=1 B.(x-2) 2+(y+1) 2=4 C.(x+2) 2+(y-2) 2=4 D.(x+2) 2+(y-1) 2=1,解析:设圆上任一点的坐标为(x0,y0), 则有x02+y02=4. 设连线中点的坐标为(x,y),则 代入x02+y02=4,得(x-2)2+(y+1)2=1. 答案:A,
