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1、第2讲 数论专题 一、 整除 （一）整除的定义若整数除以整数，除得的商为整数且没有余数，就说能被整除，或能整除，记作 （二）整除的性质（1）已知 、，则，（2）已知，则（3）已知且 ，则（4）已知且，则 （三）常用判断法1尾数判断法能被2或5整除的：个位数字可被2或5整除能被4或25整除的：末两位可被4或25整除能被8或125整除的：末三位数可被8或125整除2数字和判断法能被3或9整除的：各位数字之和能被3或9整除能被99整除的：从后往前，两位一段，各段之和是99的倍数3奇偶位求差法能被11整除的：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除（注意：我们把一个数从右往左数的第1位、第3位、第5位、
2、统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2位、第4位、第6位、统称为偶数位我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”）4三位截断法能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数” 之差能被7或11或13整除5形如的数可以被7、11、13整除，在多位数的判断中可以将这样的六位数“去掉”再判断6对于没有整除特性的数，可以利用列竖式的方式找到能被这个数整除的数二、 质数与合数（一）质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它自身外，还能被其他数整除的数（二）分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的
3、形式例如，三、 约数、倍数（一）基本概念（1）如果a能被b整除（），则b是a的约数（因数），a是b的倍数（2）约数具有“配对”性质：大约数对应小约数（二）约数个数（1）分解质因数，指数加1再相乘（2）平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数【例】有2012盏灯，分别对应编号12014的共2014个开关现在有编号12014的2014个人来按动这些开关已知第一个人按的开关是1的倍数，第二个人按的开关是2的倍数，第三个人按的开关3的倍数以此类推，第2014个人按的开关是2014的倍数如果，一开始灯全是亮着的，那么这2014个人全都按完后，还有多少盏灯是亮的？【解】如果一个灯一开始为亮，最后还亮，那么
4、它被按了偶数次，说明它有偶数个约数，是一个非完全平方数所以平方谁编号的灯都灭了从12014中，共44个平方数，所以有的44盏灭了，最后还有盏灯亮着（三）约数和公式（1）设一个数的质因数分解式为，这这个数的约数和为【例】若某数的质因数分解式为，则约数和为（2）利用约数个数反推原数的质因数分解形式【例】一个自然数N有9个约数，而N-1恰好有8个约数求满足条件的N的最小值【解】N有9个约数，则N的质因数分解式为或，再结合N-1的情况，经尝试可知，最小的为四、 公约数、公倍数（一）基本概念（1）如果a是若干个数公有的约数，则称a为它们的公约数，其中最大的叫作最大公约数（2）如果b是若干个数公有的倍数，
5、则称b为它们的公倍数，其中最小的叫作最小公倍数（3）公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数（二）计算方法（1）分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来【例】，所以（2）短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘【例】，所以（3）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除
6、数是1，那么原来的两个数是互质的)【例】求600和1515的最大公约数：；所以1515和600的最大公约数是15（三）基本性质（1）（2）两个数的最大公约数是它们和或差的约数（3）已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来（四）两个最简分数的最大公约数、最小公倍数 【例】五、 余数（一）求余数（1）直接做除法（2）特征求余（用整除性判定的方法计算余数）（3）替换求余（4）周期求余（5）分解求余（二）物不知数问题（求被除数）（1）也称“韩信点兵”，关于它的解法，后人总结出“中国剩余定理”（也称“孙子定理”）（2）物不知数问题的基本解法是逐步增加条件，逐步找寻【例】一个三位数除
7、以3余1，除以5余2，除以7余4，则这个三位数最小是多少？【解】满足第三个条件的数是4，11，18，25，32，发现32可以同时满足后两个条件；接下看，同时满足后两个条件的数为32，32+57=67，32+572=102，发现67能同时满足三个条件，所以满足条件的数为（其中n为自然数）那么满足条件的三位数最小为172（三）同余（1）如果a和b除以c的余数相同，则称a、b对c同余如，10和28对9同余（2）如果a、b对c同余，则是c的倍数六、 其他数论问题（一）进位制（1）进位制的概念和重要性质十进制“逢十进一”n进制“逢n进一”在n进制中，不会出现大于或等于n的数字，如7进制中只有数字06；如
8、果n比10大，则数字数量不够，在这种情况下，需要补充英文字母A、B、C、D等，A表示10，B表示11，以此类推例如，在十二进制中，比9大1的是A，比A大1的是B，比B大1的是十进制的10，记为（2）不同进制之间的转化 n进制转十进制： 十进制转n进制：用短除法，每次把余数写到右边，最后把所有余数从下到上写出来即可，例如： 即101=（3）n进制转m进制，先转成十进制，再转过去（二）取整符号x表示不大于x的最大整数，通常叫作x的整数部分x=x-x，通常叫作x的小数部分或真分数部分例如，=3，=014 一、整除例1. 一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数是4的倍数，这样的四位数中最小的
9、是_例2. 已知七位数92AB4329能被99整除，那么两位数AB=_例3. 有一个2012位的数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，c =_例4. 小华往一个水池里扔石子第一次扔1颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子他准备扔到水池的石子总数是111的倍数，那么小华最少需要扔次二、质数与合数例5. 有一个质数是两位数，这两位数上的数字相差6，则这个两位数的质数是_例6. 请写出一个两位数，使得它与3、5、7、11的乘积的各位数字之和都是质数：_例7. 三个不同的质数平方之和是9438，这三个质数之和是_例8. 求质数p，使得、
10、都是质数例9. 101个连续的非零自然数的和恰好是4个不同的质数的积，那么这个最小的和是_例10. 两名运动员进行了一场乒乓球比赛，三局两胜，每局先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜结果三局比赛下来，单方最高得分不超过20分，把每人每局的得分乘在一起恰为480480，那么各局比分分别是_、_、_（按大比小的方式写）三、约数、倍数与公约数、公倍数例11. 有一个自然数，它最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则这个自然数是_例12. 已知a与b的最大公约数是14，a与b的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350满足上述条件的正整数a、b、c共有_组四、余数例
11、13. 某同学在计算有余数的除法时，把被除数的102错写成了201，导致商比原来多了3，而余数正好相同，这道题的除数是_，余数是_例14. 2014除以某数的余数都为10，这样的数共有多少个？例15. 三个连续自然数依次是13、11、7的倍数，那么这三个连续自然数之和最小为_例16. 如图，在一个圆周上有100多个孔小明像玩跳棋那样，从A孔出发，沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回A孔他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔他又试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔最后他每隔6个孔挑一步，正好回到A孔那么这个圆圈上至少有_个孔例17. 的末两位数是_五、其他数论问题例18. 一
12、个自然数用四进制表示，它的数字和是5；用六进制表示，它的数字和是8；用八进制表示，它的数字和是11那么在十进制中，这个数最小是_例19. 的和是_例20. 一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列现在设定指针第一秒转动的角度为a（a为小于360的整数）度，则其第二秒转动度，第三秒转动度如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么a一共有_种设定方法，最小可以被设定为_例21. 在等差数列1，8，15，22，29，36，43中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前个数乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是_例22. 把一个两位数质数写在另一个不同的两位数质数右边，得到一个四
13、位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除这样的两个质数乘积最大是_，最小是_作业1. 189与某数的最大公约数是21，最小公倍数是378，某数是作业2. 有个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除这个四位数本身作业3. 一个两位数减去它的反序数，是个非0自然数的平方求所有这样两位数的和？作业4. 两个数的和是445，大数除以小数的商是4，余数是45，这两个数分别是、 作业5. 对于自然数n，n的约数个数用表示，n的所有约数的和用表示（1）n为最小的质数，；（2）n为最小的合数，；（3）当时，A一定是 数；（4）当时，n最小是作业6. ab6x，x是偶数，a和b是1000以下的质数，问x的最大值作业7. 将77写成几个连续自然数相加的形式（至少两个数相加），其中积最大的一组写法是_作业8. 有2012盏灯，分别对应编号为12012的2012个开关现在有1006个人来按动这些开关，已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是3的倍数，第3个人按的开关的编号是5的倍数依次做下去，第1006个人按的开关是2011的倍数如果最初所有灯都是开着的，那么经过这1006个人的操作过后，还有
