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1、正方形,2002年世界数学大会会标,图片欣赏,正方形,矩形,剪一剪,2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,创设情景,问题:,从这个图形中你想到了什么？,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,A,B,邻边相等的矩形,想一想：正方形是怎样的矩形？,矩形,
2、正方形,新知探究,菱形,正方形,一个角是直角的菱形,想一想：正方形是怎样的菱形？,新知探究,有一个角是直角,有一组邻边相等,回忆,如何在平行四边形的基础上来定义正方形,给正方形下个定义,定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,菱形,矩形,平行四边形,平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,正方形的性质=,回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列,对边平行且相等,四条边相等,对边平行且四条边相等,对角相等,四个角都是直角,四个角都是直角,对角线互相平分,对角线相等,对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,对角线
3、相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角,中心对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,图形,性质,分类,正方形,类 比 归 纳,角 ：四个角都是直角,图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.,正方形的性质,1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 cm。,7.5,试一试,2.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB2cm，则AC= , 正方形的面积S=_.,练一练,2,2,4,6,36,3.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O，且AC6 cm， 面积S=_.则
4、边长AB_,如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？,解：BE=DE. 因为 对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点， 所以 BE=DE,如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求AFC的度数。,如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，作AGEC于G，AG交BC于F， 求证：AFCE。,1,2,E,F,M,如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AEBF，垂足为M。求证：AE=BF,在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作 OEOF分别交
5、AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF长为 .,例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.,解：BE=DF,且BEDF.理由如下：,（1）四边形ABCD是正方形. BC=DC,BCE=90（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）. DCF=180-BCE=180-90=90. BCE=DCF. 又CE=CF. BCEDCF. BE=DF.,(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. BCEDCF. CBE=CDF. DCF=90. CDF+F=90. CBE+F=90. BMF=90. B
6、EDF.,如图，正方形ABCD，AB4a，M为AB的中点，ED3AE。 （1）求ME的长。 （2）求证EMC为直角三角形。,你觉得什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）,正方形的判定方法：,(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）,定义法,四条边相等，四个角都是直角,对角线互相垂直、平分且相等,以四边形为基础：,既是菱形又是矩形的四边形是正方形。,5种识 别方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,正
7、方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等.,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.,B,D,选择题:,3、下列命题正确的是（ ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形,D,4四个内角都相等的四边形一定是（ ） A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形,5在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ）
8、 AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCO BODO ABBC DACBD,C,A,6 四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（ ） A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形,A,5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。,若AB=BC，则四边形ABCD是（ ） 若AC=BD，则四边形ABCD是（ ） 若BCD=900，则四边形ABCD是（ ） 若OA=OB，则四边形ABCD是（ ） 若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是 （ ）,菱形,矩形,矩形,矩形,正方形,例1：已知：如图(2)，点A、B、C、D分别是正方形ABCD 的边AB、BC、
9、CD、DA的中点，求证：四边形ABCD是正方形。,分析:你能先证明四边形是矩形吗？,2.已知:如图,ABC中.ABC=90,BD是角平分线,DEAB,DFBC,垂足分别是E、F.,试说明：四边形DEBF是正方形.,解: DFBC,DEAB, DEB= DFB=90,而ABC=90,四边形DEBF是矩形, BD平分ABC, DFBC , DEAB, DE= DF,四边形DEBF是正方形,反馈检测,O,B,A,如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使OC=OA，OD=OB 求证：四边形ABCD是正方形。,7.如图，在直角三角形中，C=90，A、B的平分线交于点D。DEAC，DF
10、AB。求证:四边形CEDF为正方形,A,B,C,D,E,F,G,证明：过点D作DGAB，垂足为G AD是CAB的平分线 DEAC，DGAB DE=DG 同理：DG=DF ED=DF DEAC，DFAB DEC= DFC=90 又 C=90 四边形ADFC是矩形 四边形ADFC是正方形,例3、 直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形（ ), DE=DF( ),DEAC， DFBC, CD平分ACB, 四边形ABCD为矩形( ),而ACB=90, DEC=90， DFC=90,证明： DEAC，DFAB,有三个角是
11、直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。,求证： ABO BCO CDO ADO,例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个 全等的等腰直角三角形。,3如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：要证明BMCN，大家观察 图形可以考虑证哪两个三角形全等 ?,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，,求证：BMCN。,你能完成证明吗?,ABBC，1245 条件够吗？,还需要的条件是 AMBN,ABMBCN,你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?,由正方形可以得到的条件有：,例2、如图，正方形AB
12、CD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。,证明：,OAOMOBON,OMON,OMN13ONM45,又MNAB,12345,OAOB AB=BC,四边形ABCD是正方形,即：AM=BN,ABMBCN,BM=CN,4已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CEAF于E，交AD于M， 求证：MFD45,分析： 欲证MFD45，由于 MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证 _=_,要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等?,试一试 看能不能完成证明?,CMDADF,例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长
13、线上一点，CEAF于E，交AD于M， 求证：MFD45,证明：,DM=DF,RtCDMRtADF (AAS),又CDAD，ADFMDC=Rt,12,CMDAME,ADCAEM90,CEAF 四边形ABCD是正方形,MFD45,1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) ACFDCB (2) BHAF,练一练,2、如图(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：CEAABG,证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 AEAB AGAC 1290 又EAC1BA
14、C90BAC BAG2BAC90BAC EACBAG AECABG (SAS) CEAABG,3、在正方形中，点，分别在，上，且.四边形是正方形吗？为什么？,4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。,6、在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB, DFAC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形. 请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外 添加辅助线,无需证明),1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,课外拓展：,如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,请你当设计师,1 已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB2cm，如图(2)
