《高三数学一轮复习--2-9函数与方程课件-北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习--2-9函数与方程课件-北师大版（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考纲解读 1结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解 考向预测 1函数的零点及二分法是新增内容，是高考的重要考点，在近两年的高考中均有重要体现 2多以选择、填空的形式出现，属中、低档题常与函数的图像、性质交汇命题,知识梳理 1函数零点的定义 (1)对于函数yf(x)(xD)，把使 成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点 (2)方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与 有交点函数yf(x)有 ,f(x)0,x轴,零点,2函数零点的判定 如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条
2、曲线，并且有 ，那么函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个 也就是f(x)0的根我们不妨把这一结论称为零点存在性定理,f(a)f(b)0,(a，b),f(c)0,c,3二次函数yax2bxc(a0)的图像与零点的关系,两个,1个,2,1,0,4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间a，b，验证 ，给定精确度； 第二步，求区间(a，b)的中点x1； 第三步，计算 若 ，则x1就是函数的零点； 若 ，则令bx1(此时零点x0(a，x1)； 若 ，则令ax1(此时零点x0(x1，b)； 第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)
3、；否则重复第二、三、四步,f(a)f(b)0,f(x1),f(x1)0,f(a)f(x1)0,f(x1)f(b)0,基础自测 1(2010天津理)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是 ( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 答案 B 解析 f(0)10，f(1) 0，选B.,2已知f(x)xx3，xa，b，且f(a)f(b)0，则f(x)0在a，b内 ( ) A至少有一实数根 B至多有一实数根 C没有实数根 D有唯一实数根 答案 D 解析 利用函数f(x)在a，b上是单调减函数， 又f(a)，f(b)异号故选D.,答案 A,4(2011临沂质检)下列函数图像与x轴
4、均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( ),答案 C 解析 用二分法求函数的零点，首先保证函数图像在a，b上是连续不断的，故A、D不符合题意；然后，保证f(a)f(b)0，故B不符合题意，因此选C.,5已知方程x2(a1)x(a2)0的根一个比1大，另一个比1小，则a的取值范围是_ 答案 (，1) 解析 函数f(x)x2(a1)x(a2)的大致图像如图所示，于是有f(1)0，即1(a1)(a2)0，解得a1.,6函数f(x)x 的零点个数为_ 答案 2 解析 令f(x)0得x 0， 即x24，x2.故f(x)的零点有两个,7函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围
5、 解析 当m0时，x 为函数的零点； 当m0时，若0，即m1，则x1是函数唯一的零点 若0，显然x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数的零点等价于方程f(x)mx22x10有一个正根和一个负根，即mf(0)0，即m0. 综上可知m(，01,例1 求下列函数的零点 (1)f(x)4x3；(2)f(x)x22x3； (3)f(x)x33x2；(4)f(x)x 2. 分析 根据函数零点与方程根之间的关系，求函数的零点，就是求相应方程的实数根,(2)由x22x30，得x22x30， 解得x11，x23， 即f(x)x22x3的零点为1,3. (3)由x33x2x32x22x24xx2x2(x2
6、)2x(x2)(x2)(x1)2(x2)0，得x1,21，x32. 所以f(x)x33x2有两个零点1，2，其中1是二重零点,点评 求函数的零点就是求相应方程的根，一般可用因式分解或求根公式等方法求出方程的根，即得函数的零点,(1)函数f(x)log3xx3的零点一定在区间 ( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 答案 C 解析 解法一：函数f(x)log3xx3的定义域为(0，)，并且在(0，)上递增连续，又f(2)log3210， 函数f(x)log3xx3有惟一的零点且零点在区间(2,3)内,解法二：方程log3xx30可化为log3x3x，在同一坐标系中作出yl
7、og3x和y3x的图像如图所示，可观察判断出两图像交点横坐标在区间(2,3)内,(2)函数f(x)log3xx2的零点的个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 解法一：方程log3xx20， 可化为log3xx2 在同一坐标系中作出ylog3x与yx2的图像如下图所示，可观察出两图像有两个不同交点，故选C.,(3)函数f(x)x32x2x的零点是 ( ) A0 B1 C0和1 D(0,0)和(1,0) 答案 C 解析 令f(x)0，即x32x2x0x(x1)20，解得x10，x2x31.故函数f(x)的零点是0和1.,例2 (1)若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，求实数
8、a的值； (2)若函数f(x)|4xx2|k有4个零点，求实数k的取值范围 分析 (1)二次项系数含有字母，分类讨论即可 (2)利用函数图像求解,(2)设g(x)|4xx2|，画出其图像如图所示 函数f(x)有4个零点，即方程g(x)k0有4个不同的实数解，也就是yg(x)的图像与直线yk有4个不同的公共点，由图可知0k4.,点评 函数yf(x)的零点方程f(x)0的根函数f(x)的图像与x轴交点横坐标这为我们研究函数零点个数和方程根的个数问题提供了两种解法：一是转化为直接研究方程根的个数；二是转化为图像交点个数另外，还可推广为：函数yf(x)的k点方程f(x)k的根yf(x)的图像与直线yk
9、的交点横坐标,(2009江西文)设函数f(x)x3 x26xa. (1)对于任意实数x, f(x)m恒成立，求m的最大值； (2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围,例3 求方程x3x10在区间(0,2内的实数解(精确到0.01) 解析 考察函数f(x)x3x1， 经试算f(0)10. 函数f(x)x3x1在(0,2内存在零点，即 方程x3x10在0,2内有解 取0,2的中点1，经计算f(1)10,所以方程x3x10在1,1.5内有解 如此下去，得到方程x3x10实数解所在区间的表.,所求实根1.32. 点评 在用二分法求方程解时，初始区间的选定，往往需通过分析函数的性质和试验估
10、计，初始区间选得不同不影响最终计算结果.,例4 已知函数f(x)8x2(m1)x(m7) 问当m取何值时，函数的零点满足下列性质，通过求解，探求此类问题的一般解法 (1)均为正数；(2)一正一负；(3)一根大于2，另一根小于2；(4)两根都在(0,2)内 分析 本题的实质就是二次函数对应的方程的根的讨论，结合二次函数图像与x轴的交点位置的有关条件即可求解,点评 (1)这类题为方程的实根分布问题，解决此类问题一定要注意结合图像，从判别式、韦达定理、对称轴、函数值的大小、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件 (2)函数与方程联系密切，可把函数问题转化为方程问题解决，也可用数形结合法 (3)一元
11、二次方程f(x)ax2bxc0(a0)的区间根问题 研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑：,1一元二次方程根的判别式； 2对应二次函数区间端点函数值的正负； 3对应二次函数图像的对称轴x 与区间端点的位置关系 设x1、x2是实系数二次方程ax2bxc0(a0)的两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示,例5 已知函数f(x)x22exm1，g(x)x (x0) (1)若g(x)m有零点，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根 分析 (1)g(x)m有零点，可以结合图像也可以解方程 (2)利用图像求解,f(x
12、)x22exm1(xe)2m1e2，其对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2， 故当m1e22e，即me22e1时， g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)f(x)0有两个相异实根 m的取值范围是(e22e1，) 点评 此类问题利用零点求参数的范围，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图像求解，使得问题简单明了这也体现了当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解,(2011山东临沂)若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值 . (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程f(x)k有三个零点，求实数k的取值范围,1
13、对于函数yf(x)(xD)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数的零点，注意以下几点： (1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零 (2)函数的零点也就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标 (3)一般我们只讨论函数的实数零点 (4)函数的零点不是点，是方程f(x)0的根,2对函数零点存在的判断中，必须强调： (1)f(x)在a，b上连续； (2)f(a)f(b)0； (3)在(a，b)内存在零点 事实上，这是零点存在的一个充分条件，但不必要 3二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值 4要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断,
