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1、用单调有界原理证明确界存在定理证明: 设是有上界的非空数集且是的上界，若存在则，现设不存在，于是取，将区间二等分，若右半区间包含的点，则取右半区间记作，否则将左半区间记为，于是中含有的点，且是的上界，如此下去得到闭区间中含有中的点单调增加，单调减少且.数列单调增加有上界，从而有极限。于是， 而是的上界是的上界，是的上界, 当时 , 于是不是的上界证明：已知实数集A非空。存在a属于A,不妨设a不是A的上界，另外，知存在b是A的上界，记a1= a，b1=b ，用a1 ，b1 的中点(a1+b1)/2 二等分a1 ，b1 ，如果(a1+b1)/2属于B ，则取a2 =a1 ，b2 =(a1+b1)/
2、2 ；如果(a1+b1)/2属于A ，则取a2 =（a1+b1)/2 ，b2 =b1 ；如此继续下去，便得两串数列 。其中an属于A 单调上升有上界（例如b1 ），bn 单调下降有下界（例如a1 ）并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-无穷） 。由单调有界定理，知存在 r，使liman = r (n-无穷）。由 lim（bn-an ）=0 有 liman+（bn-an ）= r (n-无穷） 因为bn是A的上界，所以对任意x属于A ，有x无穷 ，x无穷）bn = r 所以 r是A的上界。 而 任意c0由lim(n-无穷）an = r知任意c0知存在N，当nN 有r-can 从而 存在X属于A ，使r-canX 所以 r=supA。 同理可证非空有下界数集有下确界。
