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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试课标全国卷（理科数学）第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)复数 的共轭复数是21i（A） （B） （C） （D）35i35iii（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0， ）单调递增的函数是（A） (B) （C） (D) 2yx1yx21yx2xy（3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040（4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位
2、同学参加同一个兴趣小组的概率为（A） （B） （C） （D）1122334（5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则x2yx=cos2（A） （B） （C） 43535（D） 5（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点， 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为AB（A） （B） （C）2 （D）323（8） 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为51axx（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40（
3、9）由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为y2yxy（A） （B）4 （C） （D）6103 163（10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题12:0,3P22:1,3Pab3:,ab4:,其中的真命题是（A） （B） （C） （D）14,P13,P23,P24,P（11）设函数 的最小正周期为 ，()sin)cos()0)fxx且 ，则()f（A） 在 单调递减 （B） 在 单调递减fx0,2 ()fx3,4（C） 在 单调递增 （D） 在 单调递增()fx0,2 ()fx3,4(12)函数 的图像与函数 的图像所有焦点的横坐标1y2siny之和等于（A）2 (B
4、) 4 (C) 6 (D)8第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）若变量 满足约束条件 则 的最小值为 。,xy329,6xy2zxy（14）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，xOyC12,Fx离心率为 。过 的直线 交于 两点，且 的周长为 16，那么 的方2l,AB2AC程为 。（15）已知矩形 的顶点都在半径为 4 的球 的球面上，且ABCDO,则棱锥 的体积为 。6,23ABO（16）在 中， ，则
5、的最大值为 。60,3 2ABC三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）等比数列 的各项均为正数，且na 21362,9.aa求数列 的通项公式.设 求数列 的前项和.31323logl.log,n nbaanb(18)(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD.()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。（19） （本小题满分 12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102
6、的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）（20） （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 M
7、B/OA， MAAB = MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。（21） （本小题满分 12 分）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为ln()1axbf()yfx1,()f。230xy（）求 、 的值；ab（）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。x1ln()1xkf请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， ， 分别为 的边 ， 上的点，且不与 的顶点重合。DEAB
8、CAABC已知 的长为 ， ， 的长是关于 的方程 的两个根。Anx2140xmn（）证明： ， ， ， 四点共圆；CBDE（）若 ，且 ，求 ， ， ， 所在圆的半径。90A4,6mnCBDE(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）2cosinxyM 是 C1上的动点，P 点满足 ,P 点的轨迹为曲线 C22OPM()求 C2的方程()在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异3于极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求 .A(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5：
9、不等式选讲设函数 ,其中 。()3fxax0a（）当 时，求不等式 的解集1()32fx（）若不等式 的解集为 ，求 a 的值。()0fx|1x2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D（7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D二、填空题（13）-6 （14） （15） （16）2168xy8327三、解答题（17）解：（）设数列a n的公比为 q，由 得 所以 。有条件2369a3249a219q可知 a0,故 。13q由 得 ，所以 。故数列a n的通项式为12a12a13an= 。
10、3（ ） 111logl.lognba(2.)故 112()()nbn12 12.()().()31n nn所以数列 的前 n 项和为nb2(18)解：（ ）因为 , 由余弦定理得 60,2DABAD 3BDA从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD（）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 轴的正半轴x建立空间直角坐标系 D- ，则xyz, , , 。10A30B， 1,30C,1P(,),(,),(,)PB设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z） ，则 即 30xyz因此可
11、取 n=(,1)设平面 PBC 的法向量为 m，则 0PBC可取 m=（0，-1， ） 3427cos,n故二面角 A-PB-C 的余弦值为 27（19）解（）由实验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为 ，28=0.31所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。由实验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 ，所3.4以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42（）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间90,4,120,的频率分别为 0.04，,054,0.42，因此P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0
12、.42,即 X 的分布列为X 的数学期望值 EX=20.04+20.54+40.42=2.68(20）解：()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 =（-x,-1-y）, MA=(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（ + ） =0,即（-x,-MBAB B4-2y） (x,-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y= x -2.142()设 P(x ,y )为曲线 C：y= x -2 上一点，因为 y = x,所以 的斜0 212l率为 x12因此直线 的方程为 ，即 。l001()2yx200xyx则 O 点到 的距离 .又 ，所以l0|4d2y2020
13、2014(),xdx当 =0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2.20xl（21）解：（） 221(ln)xbf x由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即230xy12(,1)()1,2f解得 ， 。1,2baab（）由（）知 ，所以ln1x。22l1(1)()lnkkxfx考虑函数 ，则 。()2lnhx2(0)2()1 xh(i)设 ，由 知，当 时， 。而 ，0k22(1)()kx1x()0()h故当 时， ，可得 ；(,1)x()hx2()01hx当 x （1，+ ）时，h（x）021从而当 x0,且 x 1 时，f（x）-（ + ）0，即 f（x） + .lnxk1lnxk（ii）设 00,故 h （x）0,而 h（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）0，可得 h（x）k20,而 h（1）=0，故当 x （1，+ ）时， h（x）0，可得 h（x）0,与题设矛盾。21综合得，k 的取值范围为（- ，0（22）解：（I）连接 DE，根据题意在ADE 和ACB 中， ADAB=mn=AEAC, 即 .又DAE=CAB,从而ADEACB ABECD因此ADE=ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。（）m=4, n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2
