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1、绝密本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数z=2+i，则（A）（B）（C）3（D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2（C）3 （D）4（3）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（A）（B）（C）（D）（4）已知椭圆（ab0）的离心率为，则（A
2、）a2=2b2（B）3a2=4b2（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x，y满足，且y1，则3x+y的最大值为（A）7（B）1（C）5（D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1（C）lg10.1 （D）1010.1（7）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美
3、、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）函数f（x）=sin22x的最小正周期是_（10）设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=3，S5=10，则a5=_，Sn的最小值为_（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_（12）已知l，m是平面
4、外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_（13）设函数f（x）=ex+aex（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔
5、订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在ABC中，a=3，bc=2，cosB=（）求b，c的值；（）求sin（BC）的值（16）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD的中点，点F在PC上，且（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由（17）（本小题13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方
6、式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000（1000，2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发
7、现他们本月的支付金额都大于2000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由（18）（本小题14分）已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（）求抛物线C的方程及其准线方程；（）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（19）（本小题13分）已知函数（）求曲线的斜率为1的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值（20）（本小题13分）已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、第i
8、m项（i1i2im），若，则称新数列为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列（）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为若pq，求证：|+|-|+|2|-|20与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|”的充分必要条件,故选C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断平面向量的模夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8.【答案】C【解析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围
9、，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.详解】由得,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论正确.由得,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.【答案】【解析】将所给的函数利
10、用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数,周期为【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式三角函数的最小正周期公式，属于基础题.10.【答案】 (1). 0. (2). -10.【解析】首先确定公差,然后由通项公式可得的值，进一步研究数列中正项负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列中,得,公差,由等差数列的性质得时,时,大于0,所以的最小值为或,即为.【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式等差数列的性质,难度不大,注重重要知识基础知识基本运算能力的考查.11.【答案】40.【解析】画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积.【详解】在正方体中还原该几何体
11、，如图所示几何体的体积V=43-（2+4）24=40【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.12.【答案】如果l，m，则lm.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l，m，则lm. 正确；（2）如果l，lm，则m.不正确，有可能m在平面内；（3）如果lm，m，则l.不正确，有可能l与斜交、l.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.13.【答案】 (1). -1; (2). .【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.【详解】若函数为奇函数,则，对任意的恒成立.若函数是上的增函数,则恒成立,.即实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的奇偶性单调性利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识基础知识基本运算能力的考查
