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1、第 1 页 共 9 页高考导数题型分析及解题方法本知识单元考查题型与方法：与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率= ，三代切点入切线、曲线21yx联立方程求解）；其它问题（一求导数，二解 =0 的根若含字母分类讨论，三列 3 行 n 列)(xf的表判单调区间和极值。结合以上所得解题。 ）特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。关注几点：恒成立：（1）定义域任意 x 有 k,则 常数 k；()fmin()fx（2）定义域任意 x 有 k,则 常数 k ()fa恰成立：（1）对定义域内任意 x 有 恒成立，则()fgxmin(
2、)-0,fxg【 】（2）若对定义域内任意 x 有 ：恒成立，则a【 】能成立：（1）分别定义在a,b和c,d上的函数 ，对任意的 存在()fx和 1,xb使得 ，则2,xcd12()fxgmaxax()()fg（2）分别定义在a,b和c,d上的函数 ，对任意的 存在 使()f和 1,xa2,xcd得 ，则12()fxgminin()()fx一、考纲解读考查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1 32()fx在
3、区间 1,上的最大值是 2 2已知函数 )()2xcxfy、处有极大值，则常数 c 6 ；第 2 页 共 9 页3函数 31xy有极小值 1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线34yx在点 ,处的切线方程是 2yx 2若曲线 f)(在 P 点处的切线平行于直线 03，则 P 点的坐标为 （1，0） 3若曲线4yx的一条切线 l与直线 48xy垂直，则 l的方程为 430xy 4求下列直线的方程：（1）曲线 123xy在 P(-1,1)处的切线； （2）曲线 2xy过点 P(3,5)的切线；解：（1） 13|k 23 1),( /3 、 xyxyP所以切线方程为 0（2）显然
4、点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为 ),(0yxA，则 20x又函数的导数为 xy2/，所以过 ),(0yxA点的切线的斜率为 0/2|xyk，又切线过 ),(、P(3,5)点，所以有 350，由联立方程组得， 25 10yx、，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ;201xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为 20xk；所以所求的切线有两条，方程分别为 251 2 )()(2 xyxyyy 、题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1已知函数 ,)(,)(23 fPxfcbxaf 上 的 点过 曲 线的切线方程为 y=3x+1 （）若函数 x在 处有极值，求 的表达式；（）在（）
5、的条件下，求函数 )(xfy在3，1上的最大值；（）若函数 )(xfy在区间2，1上单调递增，求实数 b 的取值范围 解：（1）由 .2)(,3 axxfcbaf 求 导 数 得过 )1(,)(Pxy上 点 的切线方程为： ).1(23()1(),1( xbacyy即 而过 .3 xff的 切 线 方 程 为上故 30232cabcab即 124,)(,)( bafxfy故时 有 极 值在 由得 a=2，b=4，c=5 .53xxf （2） ).2(343)(2 xxf第 3 页 共 9 页当;0)(,32;0)(,23 xfxf时当时 1.1ffx极 大时当又 )(,4xff在3，1上最大值
6、是 13。 （3）y=f(x)在2，1上单调递增，又 2)(bax 由知 2a+b=0。 依题意 )(xf在2，1上恒有 xf0，即 .03 当6,)1()(,16minbffb时；当fxfx ,02)()(,2in时；当.6,1)(,16min bbfb则时综上所述，参数 b 的取值范围是 ),02已知三次函数32()fxabxc在 1和 x时取极值，且 (2)4f(1) 求函数 y的表达式； (2) 求函数 ()yf的单调区间和极值；(3) 若函数 ()4(0)gxfm在区间 3,mn上的值域为 4,16，试求 m、 n应满足的条件解：(1) 23fab， 由题意得， 1,是 20xab的
7、两个根，解得， 0,3ab再由 ()4f可得 c3()2fx (2) 2()3(1)fx，当 1x时， ()0fx；当 1时， 0f；当 1x时， 0；当 时， ()0fx；当 时， f函数 ()fx在区间 (,上是增函数；在区间 1,、上是减函数；在区间 1,上是增函数。函数 ()fx的极大值是 (1)0f，极小值是 (1)4f (3) 函数 ()gx的图象是由 ()fx的图象向右平移 m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数 f在区间 3,n上的值域为 4,16（ 0） 而 (3)20f， 420m，即 于是，函数 ()fx在区间 3,4n上的值域为 20,令 fx得 1或 x由
8、()fx的单调性知， 142n，即 6综上所述， 、 n应满足的条件是： 4，且 63设函数 ()(fab第 4 页 共 9 页（1）若 ()fx的图象与直线 580xy相切，切点横坐标为，且 ()fx在 1处取极值，求实数 ,ab 的值；（2）当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 ()fx总有两个不同的极值点 解：（1）2()3().fxbx由题意 25,(1)0f，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）当 b=1 时， 0f、23(1).ax因 ,0)1(42a故方程有两个不同实根 21,x不妨设 21x，由 )(21 xf可判断 )xf的符号如下：当 时 ，)(f；当 时 ，
9、 )(x；当 时 ，(因此 1x是极大值点， 2x是极小值点 ，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数 )fx总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1如右图：是 f（x）的导函数， )(/xf的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ D ）（A） （B） （C） （D）2函数、143xy( A )xyo4-4 2 4-42-2-2xyo4-4 2 4-42-2-2 xyy4o-4 2 4-42-2-26 66 6 yx-4-2o 42243方程 、)2,0(7623x ( B )A、0 B、1 C、2 D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数.10
10、,33)(2abxaxf（1）求函数 f的单调区间、极值.（2）若当 2,ax时，恒有 axf|)(|，试确定 a 的取值范围.解：（1）22()43fxax= ()a，令 ()0f得 12,3 第 5 页 共 9 页列表如下：x （-，a） a （a，3a） 3a （3a，+）()f- 0 + 0 -xA极小 A极大 A ()f在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减x时，34()fxba极 小， x时， ()fxb极 小 （2）22f 01，对称轴 21a， ()fx在a+1，a+2上单调递减 (1)4()3Maxaa，2min()434f a依题 |f|Mxf， m
11、in|f 即 |,|解得415a，又 0 a 的取值范围是,1)52已知函数 f（x）x3ax2bxc 在 x23与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x1，2 ，不等式 f（x）c2 恒成立，求 c 的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由 f（ 3）24a09 ，f （1）32ab0 得 a 2，b2f（x）3x2x2（3x2） （x1） ，函数 f（x）的单调区间如下表：x（， ） 2（ ，1）1 （1，）f（x） 0 0 f（x） 极大值 极小值 所以函数 f（x）的递增区间是（，23）与（1， ） ，递减区间
12、是（23，1）（2）f（x）x312x22xc，x1，2 ，当 x23时，f（x） 7c为极大值，而 f（2）2c，则 f（2）2c 为最大值。要使 f（x）c2（x1，2 ）恒成立，只需 c2f（2）2c，解得 c1 或 c2第 6 页 共 9 页题型六：利用导数研究方程的根1已知平面向量 a=( 3,1). b=( 21,3).（1）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 x=a+(t23) b， y=-ka+tb， x y，试求函数关系式 k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)k=0 的解的情况.解：(1) x y， =0 即+(t2-3) (-k+t )
13、=0. 整理后得-k2a+t-k(t2-3) ab+ (t2-3)2=0 b=0，2=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即 k= 41t(t2-3)(2)讨论方程 41t(t2-3)-k=0 的解的情况，可以看作曲线 f(t)= t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数. 于是 f(t)= 3(t2-1)= (t+1)(t-1). 令 f(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ )f(t) + 0 - 0 +F(t) 极大值 极小值 当 t=1 时，f(t)有极大值，f(t)极大值= 21.当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值=函数 f(t)= 41t(t2-3)的图象如图 1321 所示，可观察出：(1)当 k 2或 k 时,方程 f(t)k=0 有且只有一解；(2)当 k=1或 k= 时,方程 f(t)k=0 有两解；(3) 当 2k 时,方程 f(t)k=0 有三解. 第 7 页 共 9 页题型七：导数与不等式的综合1设 axfa
