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1、1.4.2 正、余弦函数的图像和性质,1.正弦、余弦函数的图象和性质,y=sinx (xR),y=cosx (xR),定义域,值域,周期性,xR,y - 1, 1 ,T = 2,2.周期函数的定义,一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。,对于一个周期函数f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。,可知： 函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2k(kZ且 k0)都是它的周期，最小正周期是
2、2。,由sin(x+2k)=sinx ; cos(x+2k)=cosx (kZ),注意：（1）周期T为非零常数。 （2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。 （3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一端是无界的） （4）周期函数不一定有最小正周期。,举例：f(x)=1(xR),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。,的最小正周期,例1 求下列函数的周期：,（1）y=3cosx; xR （2）y=sin2x，xR；,3.例题讲解,例1、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？,
3、4.周期函数应用,结论：定义在R上的函数f(x)满足f(xa)f(x)=0或f(xa) =-f(x) 则f(x)是周期为2a的周期函数.,例2、已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x1)=f(x1)，且当x0，2时，f(x)=x4，求f(10)的值.,结论：定义在R上的函数f(x)满足f(xa)-f(x-b)=0或f(xa) =f(x-b) 则f(x)是周期为a+b的周期函数.,奇偶性,一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。,一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的
4、函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。,1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性,sin(-x)= - sinx (xR),y=sinx (xR),是奇函数,cos(-x)= cosx (xR),y=cosx (xR),是偶函数,定义域关于原点对称,正弦、余弦函数的奇偶性,正弦函数的单调性,y=sinx (xR),-1,0,1,0,-1,余弦函数的单调性,y=cosx (xR),-1,0,1,0,-1,单调性,y=cosx在每一个闭区间(2k-1),2k (kZ)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间2k
5、，(2k+1) (kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1.,y=sinx在每一个闭区间 +2k, +2k (kZ）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 +2k， +2k (kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1.,例4 比较下列各组数的大小:,例5 求函数 ， x2，2的单调递增区间.,当 cosx=1 即 x=2k （kZ) 时 ， y 取到最大值 3 .,解：由 cosx0 得：- +2k x +2k （kZ) 函数定义域为- +2k， +2k,由 0cosx1 12 +13 函数值域为 1 ， 3,练：求函数y = 2 +1 的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最
6、大值为多少？,正弦、余弦函数的奇偶性、单调性,奇函数,偶函数, +2k, +2k,kZ,单调递增, +2k, +2k,kZ,单调递减,函数,求函数的单调区间：,1. 直接利用相关性质,2. 复合函数的单调性,3. 利用图象寻找单调区间,奇偶性,单调性（单调区间）,正弦、余弦函数的奇偶性、单调性,例2 求下列函数的单调区间：,(1) y=2sin(-x ),解：,y=2sin(-x ),= -2sinx,(2) y=3sin(2x- ),单调增区间为,所以：,解：,单调减区间为,正弦、余弦函数的奇偶性、单调性,解：,(4),正弦、余弦函数的奇偶性、单调性,(5) y = -| sin(x+ )|,解：,令x+ =u ,则 y= -|sinu| 大致图象如下：,减区间为,增区间为,即：,y为减函数,
