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1、共 3 页 第 1 页 09-10-3 高数 B 期末试卷（A）参考答案及评分标准09-10-3 高数 B 期末试卷（A）参考答案及评分标准10.6.2910.6.29 一.填空题(本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分)一.填空题(本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分) 1. 幂级数 1 (1) 2 n n n x n = 的收敛域为 1,3)； 2. 球面 222 30xyzx+=在点(1,1,1)处的切平面方程为2230xyz+=； 3. 已知两条直线 121 12 xyz m + =与3xyz=相交，m = 1 9 ； 4. 交换积分次序 22 110111 01
2、1000 d( , )dd( , )dd( , )d xyy x xf x yyyf x yxyf x yx + =+ ； 5. 将 222 244 222 200 dd()d xxy xyf xyzz + （其中( )f t为连续函数）写成球面坐标 系下的三次积分 2 22 2 000 dsin d()df rrr ； 6. 设L为由点(2,1,2)A到原点(0,0,0)O的直线段，则曲线积分 2 () d L xyzs+ 之值为 25； 7. 已知 3222 (cos )d(1sin3)daxyyxxbyxx yy+为某个二元函数( , )f x y的全微分，则 2,2ab= ； 8. 设
3、 222 , , ,x y zrxyz=+rr，则散度div(e)e (3) rr r=+r； 9. 设是锥面 22 (01)zxyz=+，取下侧，则 3 dd2 dd(1)dd2x yzy zxzxy += . 二. 计算下列各题(本题共 4 小题，每小题 7 分，满分 28 分) 二. 计算下列各题(本题共 4 小题，每小题 7 分，满分 28 分) 10设 ( , )zz x y=是由方程eee zyx zxy=+所确定的隐函数，求, zz xy . 解 解 (1)eee zyx z zy x +=+ ， （2 分）（2 分） ee 1 y zx z zy xz + = + ， （2 分
4、）（2 分） ee 1 x zy z zx yz + = + （3 分） （3 分） 共 3 页 第 2 页 11计算二重积分d d D y x y ，其中 2222 ( , )2,2Dx y xyxyy=+. 解 解 2sin 23 22 2 44 2 d d2sin dd(8sin2 2)sin d 32 D y x y = （3+2+2 分）（3+2+2 分） 12计算 2 2222224 0020 edededed yy yxyx yxyx + . 解 解 22 ( , )4,0Dx y xyxy=+， （1 分）（1 分） 原式 () 2222 ()4 2 0 4 ed dded1
5、e 8 xy D x y + = （1+3+2 分） （1+3+2 分） 13. 计算三重积分e d d d y x y z ，其中由曲面 222 1,0,2xyzyy+=所围成. 解 解 222 :1,02 y xzyy+ +， （1 分）（1 分） 22 22 00 e d d de dd d(1)e d3 (e1) y yyy x y zyx zyy =+= ， （3+1 分）（3+1 分） 三（三（14） （本题满分 7 分） （本题满分 7 分）求由抛物面 22 2xyz+=与平面1,2zz=所围成的密度均匀（密 度1=）的立体对z轴的转动惯量. 解 解 题中的立体记为，则 22 2
6、22 22223 110 2 14 ()dd()d2dd 3 z z xyz Ixyvzxyz + =+=+= （2+2+1+2 分） 四 （ （2+2+1+2 分） 四 （15） 。 （本题满分 7 分） 。 （本题满分 7 分） 计算第二型曲面积分 222 dddddd S xyzyzxzxy+ ， 其中S 为球面 222 1xyz+=在第二卦限部分的外侧. 解 解 (cos,cos,cos )( , , )x y z=， （1 分） （1 分） 222333 dddddd()d SS xyzyzxzxyxyzS+=+ （1 分）（1 分） 33 22 22 (1)d 8 1 xy D x
7、y xy xy + =+ = （2+3 分）（2+3 分） 共 3 页 第 3 页 五（五（16） （本题满分 7 分） （本题满分 7 分）计算 22 ()d()d C xyxxyy xy + + ? ，其中C为 2 22 3 33 1 xy += ，方向 为逆时针. 解 解 () 22 2 22 2QPyxxy xy xy = + ， （2 分）（2 分）取正数很小，使 222 :Cxy +=含于 2 22 3 33 1 xy += 内， （1 分）（1 分） 2 22 ()d()d 2d d2 CD xyxxyy x y xy + = + ? （4 分）（4 分） 六（六（17） （本题
8、满分） （本题满分 7 分）分）将函数 2 3 ( ) 2 x f x xx = + 展开为2x的幂级数，并指明收敛域. 解 解 2 312111 ( ) 2 212122 1 4 x f x x xxxxx =+=+ + + （2+2 分）（2+2 分） 21 0 1 ( 1)1(2) 2 nn n n x + = =+ ， （2 分）（2 分）(1,3)x（1 分）（1 分） 七（七（18） （本题满分） （本题满分 8 分）分）计算由柱面 22 2xyx+=、锥面 22 2zxy=+及xOy平面所围立 体的表面积. 解 解 记 1 S为锥面 22 2zxy=+被柱面 22 2xyx+=所截部分，其面积记为 1 A，记 2 S为柱面 22 2xyx+=被锥面 22 2zxy=+和xOy平面所截部分，其面积记为 2 A，记 3 S为底面，其 面积记为 3 A，表面积 123 AAAA=+（1 分）（1 分） 2222 22 22 0 22 15 1dd12cosd 222 xyxxyx zz Axys xx += =+=+ （2 分） （1 分） （1 分） （1 分） （1 分）（2 分） （1 分） （1 分） （1 分） （1 分） 5 14 2 =+ （1 分）（1 分）
