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1、理科数学试题 第 1 页（共 11 页） 绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、
2、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知集合 2 4260MxxNx xx ，则MN= A43xx B42xx C22xx D 23xx 2设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则 A 22 +11()xyB 22 1(1)xy C 22 (1)1yx D 22 ( +1)1yx 3已知 0.20.3 2 log 0.220.2abc，则 AabcBacbCcabDbca 4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的
3、长 度之比是 51 2 （ 51 2 0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维 纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的 长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A165 cmB175 cm C185 cmD190 cm 理科数学试题 第 2 页（共 11 页） 5函数 f（x）= 2 sin cos xx xx 在, 的图像大致为 AB CD 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下 到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ” ，如图就 是一重卦在
4、所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率 是 A 5 16 B 11 32 C 21 32 7已知非零向量 a，b 满足| 2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8如图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图，图中空白框中应填入 AA= 1 2A BA= 1 2 A CA= 1 12A DA= 1 1 2A 9记 n S为等差数列 n a的前 n 项和已知 45 05Sa，则 A25 n anB 310 n an C 2 28 n SnnD 2 1 2 2 n Snn 10已知椭圆 C 的焦点为 12 1,01,0FF()， (
5、)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若 22 | 2|AFF B， 1 | |ABBF，则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x yB 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 理科数学试题 第 3 页（共 11 页） 11关于函数( )sin |sin |f xxx有下述四个结论： f（x）是偶函数f（x）在区间（ 2 ,）单调递增 f（x）在, 有 4 个零点f（x）的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 ABCD 12已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正 三角形，E，F 分别是 PA，
6、PB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A68B64C62D6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线 2 3()exyxx在点(0 )0，处的切线方程为_ 14记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 2 146 1 3 aaa，则 S5=_ 15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛 结束） 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场 取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_ 16已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy
7、 ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A， B 两点 若 1 F AAB ， 12 0FB F B ， 则 C 的离心率为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC （1）求 A； （2）若22abc，求 sinC 18 （12 分） 如图， 直四棱柱
8、ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， AA1=4， AB=2， BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值 19 （12 分） 理科数学试题 第 4 页（共 11 页） 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交 点为 P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若3APPB ，求|AB| 20（12 分） 已知函数( )sinln(1)f xxx，( )fx 为( )f x的导数证明： （1）( )fx 在区间(
9、 1,) 2 存在唯一极大值点； （2）( )f x有且仅有 2 个零点 21（12 分） 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物 试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一 只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药 治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时， 就停止试验， 并认为治愈只数多的药更有效 为 了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则 甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分， 甲药得1分
10、；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8) i p i 表示“甲药的累计得分为 i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 0 0p ， 8 1p ， 11iiii papbpcp (1,2,7)i ，其中 (1)aP X ， (0)bP X ， (1)cP X 假设0.5， 0.8 （i）证明： 1 (0,1,2,7) ii ppi 为等比数列； （ii）求 4 p，并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 （二）选考题：共 10 分。请考生在第
11、22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 理科数学试题 第 5 页（共 11 页） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t ， （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos3 sin110 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明： （1） 222 111 abc abc
12、； （2） 333 ()()()24abbcca 理科数学试题 第 6 页（共 11 页） 2019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题 1C2C3B4B5D6A7B8A9A10B11C12D 二、填空题 13y=3x14 121 3 150.18162 三、解答题 17 解 ： （ 1 ） 由 已 知 得 222 sinsinsinsinsinBCABC， 故 由 正 弦 定 理 得 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因为0180A ，所以60A （2） 由 （1） 知120BC ， 由题设及
13、正弦定理得 2sinsin 1202sinACC ， 即 631 cossin2sin 222 CCC，可得 2 cos60 2 C 由于0120C ，所以 2 sin60 2 C ，故 sinsin6060CC sin60cos60cos60sin60CC 62 4 理科数学试题 第 7 页（共 11 页） 18解：（1）连结B1C，ME 因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且 ME= 1 2 B1C 又因为N为A1D的中点，所以ND= 1 2 A1D由题设知 A1B1 DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形 MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1， 所
14、以MN平面C1DE （2）由已知可得DEDA 以D为坐标原点，DA 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则 (2,0,0)A， A1（2,0,4） ， (1, 3,2)M，(1,0,2) N， 1 (0,0, 4)A A ， 1 ( 1, 3, 2)AM ， 1 ( 1,0, 2)A N ，(0,3,0)MN 设( , , )x y zm为平面A1MA的法向量，则 1 1 0 0 AM A A m m ， 所以 320 40 xyz z ， 可取( 3,1,0)m 设( , , )p q rn为平面A1MN的法向量，则 1 0 0 MN AN ， n n 所以 30 20 q pr ， 可取(2,0, 1)n 于是 2 315 cos, |525 m n m
