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1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在
2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合Ax|x25x60，B x|x1b，则Aln(ab）0B3a0 Dab7设，为两个平面，则的充要条件是A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面8若抛物线y22px(p0）的焦点是椭圆的一个焦点，则pA2 B3C4D89下列函数中，以为周期且在区间(，）单调递增的是Af (x）cos 2xBf (x）sin 2xCf (x）cosxDf (x） sinx10已知(0，），2sin 2cos 21，则sin ABCD11设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点若，则C的
3、离心率为AB C2D12设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为097，有20个车次的正点率为098，有10个车次的正点率为099，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_14已知是奇函数，且当时，若，则_15的内角的对边分别为若，则的面积为_16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）半正多面体是由两种或两种以上的正多
4、边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17（12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值18（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球
5、得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为05，乙发球时甲得分的概率为04，各球的结果相互独立在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束（1）求P（X2）；（2）求事件“X4且甲获胜”的概率19（12分）已知数列an和bn满足a11，b10， ，（1）证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式20（12分）已知函数（1）讨论f (x）的单调性，并证明f (x）有且仅有两个零点；（2）设x0是f (x）的一个零点，证明曲线yln x 在点A(x0，
6、ln x0）处的切线也是曲线的切线21（12分）已知点A(2,0），B(2,0），动点M(x,y）满足直线AM与BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时
7、，求P点轨迹的极坐标方程23选修45：不等式选讲（10分）已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，求的取值范围2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不
8、给中间分。一、选择题1A 2C 3C 4D 5A 6C7B 8D 9A 10B 11A 12B二、填空题130.981431561626；三、解答题：17解：（1）由已知得，平面，平面，故又，所以平面（2）由（1）知由题设知，所以，故，以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），设平面EBC的法向量为n（x，y，x），则即所以可取n设平面的法向量为m（x，y，z），则即所以可取m（1，1，0）于是所以，二面角的正弦值为18解：（1）X2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
9、则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P（X2）0504（105）（104）05（2）X4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为05（104）（105）0405040119解：（1）由题设得，即又因为a1b1l，所以是首项为1，公比为的等比数列由题设得，即又因为a1b1l，所以是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，所以，20解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，）单调递增因为f（e），所以f（x）在（1，）有唯一零点x1，即f（x1）0又，故f（x）在（0，1）有唯一零点综上
10、，f（x）有且仅有两个零点（2）因为，故点B（lnx0，）在曲线yex上由题设知，即，故直线AB的斜率曲线yex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线yex的切线21解：（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为由得记，则于是直线的斜率为，方程为由得设，则和是方程的解，故，由此得从而直线的斜率为所以，即是直角三角形（ii）由（i）得，所以PQG的面积设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为在2，）单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为因此，PQG面积的最大值为22解：（1）因为在C上，当时，由已知得设为l上除P的任意一点在中，经检验，点在曲线上所以，l的极坐标方程为（2）设，在中， 即因为P在线段OM上，且，故的取值范围是所以，P点轨迹的极坐标方程为 23解：（1）当a1时，当时，；当时，所以，不等式的解集为（2）因为，所以当，时，所以，的取值范围是理科数学试题 第 10 页（共 10 页）
