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1、人在雨中奔跑速度与淋雨量的关系1、问题重述 淋雨是我们生活中常见的事件，已知要在雨中的一处沿直线跑到另一处，设雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。可以将人体的模型简化为一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m,设跑步距离=1000m，跑步最大速度=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v。问题一，在不考虑雨方向的情况下，设降雨淋遍全身，人体以最大速度跑步，建立模型估计跑完全程的总淋雨量。 问题二，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1,建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,l,w,
2、之间的关系，问速度多大时，总淋雨量最少，计算 和时的总淋雨量。问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,l,u,w之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算时的总淋雨量。2、问题分析问题一，将人体简化成长方体，雨以降雨量w均匀地淋遍全身，求出人接受雨的总 面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量w。问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为，如图1所示。根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向上。雨迎面吹来时，由于雨相对于人的速度有
3、变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算出前后侧上单位时间接受雨量。同理，头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前后侧单位时间接雨量，并分别乘以各自面积以及时间d/t,即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的淋雨量.据此可得w与v之间关系，并能求出和时的总淋雨量。问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,l,u,w之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算时的总淋雨量。3、模型的假设与符号说明3、1 基本假设1、 假设人行走的路线是直线； 2、不考虑风的方向（即假定
4、前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数； 3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。3、2 符号说明a-长方体的长 单位：m b-长方体的宽 单位：m c-长方体的厚度 单位：m w-降雨量 单位：L v-人跑步的速度 单位：m/s l-路程 单位:m -人跑步的最大速度 单位：m/s t-淋雨时间 单位:s u-雨滴下落的速度 单位：m/s -雨迎面吹来时与人体的夹角 -与从后面吹来与人体的夹角 Q-淋雨量 单位：Ls-全身面积 单位：4、模型的建立与求解4.1 问题一：全身面积
5、 s= 2(ab+bc+ac)=2.2 淋雨时间 t=l/v=1000/5=200s 降雨量 w=2cm/h=cm/s 故，淋雨量 Q=stw=L4.2 问题二：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量。 （如图1） 设雨从迎面吹来时与人体夹角为 ，且 090，建立a，b，c，d，u，之间的关系为：（1）考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为且方向与v相反，故人相对于雨的水平速度为： 则前部单位时间单位面积淋雨量为： 又因为前部的淋雨面积为：，时间为： d/v于是前部淋雨量V2为 ： 即： （2）考虑顶部淋雨量：（由图可知）
6、雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为，顶部面积为 ，淋雨时间为 ，于是顶部淋雨量为： 由可算得总淋雨量： 代入数据求得： 由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人的夹角（）两者有关。 对函数V（v）求导，得： 显然：0对式求导，易知u sin时，且090，对式求导： 解得： (1)当1.5sin0.2 cos0时，即 ：tan2/15,即V0时，即 ：tan2/15,即V0；从而推出，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而增加，所以，当速度（v）取最小，即v=u sin 总淋雨量最小。 当30，tan2/15 ，由模型分析的，当v=u sin=41/2=2（m/s）总淋雨量最小，且V=0.0002405（m）=0.2405(L)
