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1、北师大版本七年级数学（上）B 组提高题训练 1 关于一些加法运算： （1） ) 1n(n 1 43 1 32 1 21 1 发现当 n=1 ) 1n(n 1 = ) 11 (1 1 = 21 1 ， n=2 的时候 ) 1n(n 1 = ) 12(2 1 = 32 1 . 以此类推，发现这里面的所有的项都可以用 ) 1n(n 1 来表示。我们就研 究 ) 1n(n 1 的规律。 ) 1n(n 1 = ) 1n(n n) 1n( = 1n 1 n 1 ，所以 n=1, 21 1 = 2 1 1 11 1 1 1 ,n=2, 32 1 = 3 1 2 1 , n=3, 43 1 = 4 1 3 1
2、 n=n-1 n 1 1n 1 1)n(n 1 n=n ) 1n(n 1 = 1n 1 n 1 ) 1n(n 1 43 1 32 1 21 1 = 2 1 1+ 3 1 2 1 + 4 1 3 1 + + n 1 1n 1 + 1n 1 n 1 = 1n n 1n 11n 1n 1 1 （2） ) 12n(1)-(2n 1 75 1 53 1 31 1 跟上面的那道题目差不多，方法一样，先将通式 ) 12n(1)-(2n 1 化成两 个分式相减的形式，而且这两个分式的分子最好都为一，分母就是在 通式中出现的两个式子。如 ) 12n(1)-(2n 1 最后应该化成一个含有 ) 12n( 1 1)
3、-(2n 1 的形式： ) 12n(1)-(2n 1 = ) 12n)(12n( 1)-(2n-1)(2n 2 1 ) 12n)(12n( 2 2 1 = 2 1 ) ) 12n( 1 1)-(2n 1 ( 所以 n=1, ) 12n(1)-(2n 1 =) 3 1 1 1 ( 2 1 31 1 n=2, ) 12n(1)-(2n 1 =) 5 1 3 1 ( 2 1 53 1 n=3, ) 12n(1)-(2n 1 =) 7 1 5 1 ( 2 1 75 1 n=n-1 ) 12n(1)-(2n 1 =) 1-2n 1 3-2n 1 ( 2 1 ) 1(2n)3(2n 1 n=n ) 12n
4、(1)-(2n 1 =) 12n 1 1-2n 1 ( 2 1 ) 1(2n) 1(2n 1 ) 12n(1)-(2n 1 75 1 53 1 31 1 =) 3 1 1 1 ( 2 1 +) 5 1 3 1 ( 2 1 +) 7 1 5 1 ( 2 1 + +) 1-2n 1 3-2n 1 ( 2 1 +) 12n 1 1-2n 1 ( 2 1 =( 2 1 3 1 1 1 + 5 1 3 1 + 7 1 5 1 + + 1-2n 1 3-2n 1 + 12n 1 1-2n 1 )=( 2 1 12n 1 1 )= 2 1 12n n 12n 2n 2 1 12n 112n (3)1+2+3
5、+4+n 这里，n 是通项，也就是说，当 n=1 时候，为 1；当 n=2 的时候，为 2；等等直到为 n.换句话说，这里 n 相当于起了一个计数器的功能， n 从 1 变到 n,所以总共 n-1+1 项。所以 1+2+3+4+n=n 2 n1 如果，现在要计算 1+3+5+7+（2n-1） 根据我们上面所讲的，这个时候 2n-1 能够代表这里所有的项。也就 是 说 ， n=1,2n-1=1;n=2,2n-1=3 ;n=32n-1=5 n=n,2n-1=2n-1 这个时候，上一题中的提到的“计数器”就应该是 n,而不是 2n-1. 所以项数应该是 n-1+1=n 1+3+5+7+（2n-1）=
6、n 2 1)2n(1 =n 2 思考一下，如果将这一道题目改一下：3+5+7+（2n-3）应该怎 么计算呢？方法无非还是用首项加末项乘以项数除以二， 现在关键是 项数怎么计算。还是抓住“计算器” ：这里的 3，5，7都可以用 2n-1 来表示。看第一项是 3 ，它对应的 n=2，第二项 5，对应的 n=5 而最后的 2n-3 对应的 n=n-1。所以我们的计数器从 n=2 变到 n=n-1, 计算项数就是用(n-1)-2+1=n-2,也就是现在总共 n-2 项。所以 3+5+7+（2n-3）=)2n( 2 )32n(3 =n(n-2) (4)计算 1+2+2 2+23+2100 这道题目有点难
7、度，但是只要用好方法，也能算出来。 我们现在令 s=1+2+2 2+23+2100 我现在在等式两边同时乘以 2，得到 2s=2+2 2+23+24+2100+2101 比较这两个式子：s=1+ 2+22+2 2 2+2 +2 3 3+ + +2+2 100100 2s =2+2+ 2 2 2 2+2 +2 3 3+ + +2+2 100100 +2 101 发现上面加粗倾斜的部分相同，所以我们就采用方法 2s-s=(2+2 2+23+24+2100)+ 2101- 1+(2+22+23+2100)= 2101-1 也就是说，s=2 101-1; 1+2+2 2+23+2100=2101-1
8、思考题： （1）计算：2+4+6+2n （2）计算：5+6+7+n-3 （3）计算： ) 12n(2n 1 76 1 54 1 32 1 （4）计算：1+3+3 2+33+3n-1+3n 代数式求值提高 1 对你来说，常见的易错的知识点： （1）分数式的约分：例如 b ba ，你的常见的错就是，直接将 b 约去， 得到的结果是 a 。对于一个分数式而言，约分的实质性问题就是在 分数式的分子分母同时同时 除以一个数 。就像这个例子，如果要约去 b, 应该是这样1 b a 1 1 b a b b b b b a ， 这里就体现了一个同时除以 b 的概念。 其实这类问题， 大可换个角度来看。 我们可
9、以用所谓的 “除法分配律” 的计算： b ba =1 b a b b b a 。约分这个思想是对的，但是不要什么都 约分。如果这个题目变成 b b) ca ( b ab 或者那么就可以直接将 b 约掉，变 成 a 和(a+c). 总之，在一个分式的分子分母同时乘以一个或者同时 除以一个数，分式的值不变 。 （2）等式的变化：方程其实也就是个等式。对于一个等式，例如 a+b=c+d,我们在等式的两边同时乘以一个不为零不为零的数 e,等式还是成 立： （a+b）e=(c+d)e，同时除以一个不为零不为零的数 f， f dc f ba 。同 时加上减去一个数，等式还是成立。然而对于等式的一边来说，分
10、子 分母同时乘以或除以一个数，等式还是不变。例如： a+b=c+d f两边同时除以 f dc f ba p等式左边同时除以 p f p ba f dc q等式右边同时乘以 p f p ba fq d)q(c 对于一个分式d ba c ，我们在等式的两边同时乘以(a+b): b)(ad)ba ( ba c c=d(a+b) 这些性质主要应用在解方程中： 例如：(1) 解方程1 13x 2 解：方程两边同时乘以（3x-1）就得到 2=3x-1,解得 x=1 (2)解方程4 3-x 1-2x 方程两边同时乘以（x-3）:2x-1=4(x-3) 2x-1=4x-12 2x=11 x= 2 11 其实就
11、像移项一样，解这种方程，可以直接将方程左边的分母直接乘 到右边去。 2 代数式的求值提高： 常见的代数式求值，没什么好讲的，主要就是代进去死算。这里要讲 的是几种常见的解决一些所谓的难题的方法。 （1）整体换元法 例 1：现在已知 1x 1x =2，求代数式 1x 2 的值。 方法一：整体换元法 令 t= 1x 2 ,将这个等式看作是一个关于 x 的方程，把 t 看作是一个已 知数。方程两边同时乘以（x+1）得到：t(x+1)=2,解得 x=1 t 2 . 将 x=1 t 2 代入 1x 1x 中，得到： 1x 1x = 2 t 2 2 t 2 11) t 2 ( 1-1) t 2 ( 分子分
12、母同时除以 t t 1 1 t 1 分子分母同时乘以 1-t 也就是说 1x 1x =1-t=2, t=1 即 1x 2 =-1 此方法就是要求什么东西，我们就将那个东西设为一个数，得到像 t= 1x 2 这样的一个等式，解出 x,此时的 x 就是用 t 表示的一个式子， 就像上面的 x=1 t 2 。代入到已知的条件中去，得到一个完全含有 t 的等式，此时该等式就是关于 t 的一个方程，解出 t,就是我们要的 结果。 方法二：凑项 我们现在不是要求 1x 2 的值吗？ 现在我们发现 1x 2 与已知条件 1x 1x =2 的分母相同，所以我们就在分子上做做文章，凑出一个 2 出 来： 1x
13、1x = 1x 2) 1x( = 1x 2 1x 1x （注意：此时不能够将（x+1）约去！ ） =1- 1x 2 我们需要的 1x 2 已经出现! 根据已知条件： 1x 1x =2，我们得到：1- 1x 2 =2，将 1x 2 看作是一个整 体，- 1x 2 =1， 1x 2 =-1。这就是我们要求的结果。 这种方法比较的取巧，主要是看中要求的式子与已知条件的分母 （x+2）相同，所以我们就可以从已知条件 1x 1x 来构造，凑出要求的 式子 1x 2 来。 你也许要问：如果不是分母相同，而是分子相同，可不可以用这种方 法呢？回答是肯定的。我们将在下一题中讨论这种方法。 方法三：解方程 1x
14、 1x =2，看作是一个关于 x 的方程，x-1=2(x+1),x=-3 将 x=-3 代入到 1x 2 中，就可以算出最终的值是-1 此方法不是什么时候都可以用，有的时候方程是解不出来的。这就要 靠你观察，如果发现方程是我们能解得范围，就可以采用此法。 例 2 已知 1x 1x =2，求 1-x 2 解：这道题目的解法起码有两种，方法如上题的方法 1 和方法 3，自 己试试。现在我们分析可不可以用方法 2 我们观察，要求的 1-x 2 的分母就是已知条件 1x 1x =2 的分子，我们可以 这么做：将 1x 1x 去倒数得到 1x 1x = 2 1 1x 1x = 1x 21)(x =1+ 1-x 2 = 2 1 ，所以 1-x 2 =- 2 1 同样的可解！ 例 3：已知3 1x 12x ，求 1x 9 解：用方法一和三这里就不多说了，你自己算算。重点讲一下方法二 是怎么处理的。 1x 12x = 1x 1) 1x(2 = 1x 1 1x ) 1x(2 =2+ 1x
