初等超越方程

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1、4.3 初等超越方程,本节将研究几种初等超越方程的初等解法和常用变形，进一步理解超越方程的同解原理.,初等超越方程一般不能用初等方法求 解. 本节所讨论的是某些可以用初等方法求 解的特殊初等超越方程，这种讨论是在实 数域上进行的.,设f(x)是基本初等超越函数，F(x)是初 等函数，则称形如F(x)=0的方程为初等超越 方程，形如f(x)=c的方程为最简超越方程.初 等超越方程的求解最终都归结为最简超越方 程的求解.,一、指数方程,定义4.3.1 在指数里含有未知量的方程 叫做指数方程. 形如 方程 叫做最简指数方程.,1. 最简指数方程的姐,当c0时，方程 有唯 一解 ； 当c0时，方程无解

2、.,2. 指数方程的初等解法,解指数方程常用到如下几种同解变形：,(1) 方程,与方程,同解；(根据定义),(2) 方程,与方程,同解；(根据指数函数单调性),(3) 方程,) 与方程 同解；,且,(4) 方程,与方程 同解；,(5) 方程,与方程组,同解. (即换元法),例1 解方程,例2 解方程,例3 解方程,二、对数方程,定义4.3.2 在对数符号里含有未知量的 方程叫做对数方程. 形如 方程叫做最简对数方程.,1. 最简对数方程的解,对任何 方程 总有唯一解 .,2. 对数方程的初等解法,解对数方程时不仅要用到同解变形，而 且要用到非同解变形. 所以在求解时应注意 有无增根和失根. 常

3、用变形有如下几种：,(1) 根据对数定义,方程,可同解变形为,(2) 方程 可以变形为,(定义域扩大，应验根),(3) 运用对数基本恒等式、对数运算法则 和换底公式进行变形. (应注意验根),(4) 对一个等式的两边取对数. (等式两边 必须都取正值),(5) 方程 与方程,组 同解.,(即换元法),例4 解方程,例5 解方程,例6 解方程,三、三角方程,定义4.3.3 含有未知数的三角函数的方程 叫三角方程.,特殊地，形如,的方程叫做最简三角方程.,求解三角方程的关键，就是运用各种恒等 变形，把原方程化为最简三角方程.,由于三角函数的周期性, 三角方程的解应 有无穷多个. 由这无穷多个解组成

4、的解集的 表达式，叫做三角方程的通解公式.,1. 最简三角方程的通解公式,的解集是,的解集是,的解集是,的解集是,2. 三角方程的解法,凡是可以用初等方法求解的三角方程, 一 般总可以通过三角式的恒等变形和代数方 法将原方程划归为一个或几个最简三角方 程，然后写出它的解. 由于三角函数的丰富 内涵，三角恒等变形的千变万化，因而三 角方程的解法也是灵活多样的.,三角方程的常用解法有以下几种：,(1) 利用同名三角函数的相等关系.,根据最简三角方程的通解公式, 有如下命 题成立.,如果其中 是x的函数, 以上各式仍成立.,例7 解方程,(2) 利用和差化积、倍角公式等进行因式 分解.,例8 解方程

5、,(3) 化为 的齐次方程.,例9 解方程,(4) 运用将次公式,例10 解方程,(5) 换元法,例11 解方程,(6) 引入辅助角的方法,对于形如 (a,b,c为非零实 数)的三角方程, 可在方程两边都除以,然后令,即,则方程变形为,当 时，方程有解.,(7) 运用三角函数的有界性,例12 解方程,例13 解方程,3. 三角方程解集的等效性,在解三角方程时，由于解法不同或取特殊 解的代表值不同，而使得解集具有不同的表 达式. 一般地说，只要解法正确，在剔除增 解、补回失解之后，同一方程的不同形式的 解集应该是等效的.,判别解得等效性有两种常用方法.,(1) 推理法,通过推理，证明同一方程的表,达式不同的两个解集是相等的.,例14 解方程,(可用两种不同解法),(2) 实验法 先找出两个解集的代表值增减 的公共周期T，然后算出两解集在区间0,T 内的具体情况，看它们是否一致.,例15 解方程,(可用两种不同解法),四、反三角方程（略）,