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1、江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（三）解析高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内）1、设函数二阶可导，且，则为的( )A、极大值点B、极小值点C、极小值D、拐点横坐标2、设，则等于( )A、1B、1 C、0D、3、连续曲线和直线，与轴所围成的图形的面积是( )A、B、C、D、4、与三坐标夹角均相等的一
2、个单位向量为( )A、（1，1，1）B、（，）C、（，）D、（，）5、设区域，则( )A、 B、C、D、6、下列级数收敛的是( )A、B、C、D、二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、极限 8、函数若在处连续，则 9、积分 10、设向量，则 11、微分方程的通解是 12、幂级数的收敛域为 三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限。14、已知由方程确定，求。15、求不定积分。16、设，求。17、设区域为圆周与轴在第一象限所围部分，求。18、已知函数，其中具有二阶连续偏导数，求。 19、将函数展开为的幂级数，并指出收敛区间。20、求经过点，且垂直于直线，又
3、与平面平行的直线方程。四、综合题（每小题10分，共20分）21、设曲线,（1）求该曲线过原点的切线；（2）求由上述切线与曲线及轴所围平面图形的面积；（3）求（2）中平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。22、设函数可导，且满足方程，求。五、证明题（每小题9分，共18分）23、设上连续，求证：，并利用上述结果计算积分。 24、设函数在上二阶可导，且，。证明：（1）任意，；（2）存在，使得。 江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（三）高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内）
4、1、设函数二阶可导，且，则为的( )A、极大值点B、极小值点C、极小值D、拐点横坐标解析：该题考察函数极值点、拐点的充分条件，则为的极小值点，故本题答案选B（极值判别第二充分条件）2、设，则等于( )A、1B、1 C、0D、解析：该题考察常用函数高阶导数公式，阶导数的求法主要有以下几种：（1）归纳与递推法（2）高阶导数运算法则：莱布尼兹公式（3）利用函数在一点幂级数展开式的唯一性，则，由此解出。因为，所以，将代入即可，故本题答案选A3、连续曲线和直线，与轴所围成的图形的面积是( )A、B、C、D、解析：本题考察定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和。故本题答案选A4、与三坐标夹角均相等的一个单
5、位向量为( )A、（1，1，1）B、（，）C、（，）D、（，）解析：本题考察单位向量与方向余弦的性质。记夹角为，则单位向量，由得，故本题答案选C5、设区域，则( )A、 B、C、D、解析：本题考察二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积；当被积函数为时即为区域的面积。本题区域是介于半径分别为和的圆之间的圆环。其面积为大圆与小圆面积之差，故本题答案选C6、下列级数收敛的是( )A、B、C、D、解析：该题考察级数的收敛性质、级数收敛的必要条件，级数等。故本题答案选C记住当时收敛，时发散。交错当时绝对收敛，时条件收敛，时发散。二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、极限 解析：求极限时，先
6、判断极限类型，若是或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为或型。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较，使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。本题为“”型，利用第二重要极限。8、函数若在处连续，则 解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照连续性定义讨论即可。在连续，等价于，也即 ， 左右极限均等于函数值，即，解得。9、积分 解析：本
7、题考查不定积分的定义，凑微分法以及定积分的计算。10、设向量，则 解析：该题考察向量的基本运算数量积运算。两向量数量积为对应分量乘积之和，结果是一个数量。因为，代入数据得。11、微分方程的通解是 解析：特征方程为 ，解得 原方程的通解为。12、幂级数的收敛域为 解析：对于幂级数，如果，则收敛半径，收敛区间为。再将代入级数具体考查。若幂级数缺少的奇次项（偶次项）或上述极限不存在（不是无穷），则此时将当作常量转化为常数项级数处理。本题，所以，时，级数发散，时，级数收敛，故收敛域为。对于幂级数只需作变量代换即可。三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限。解析：求极限时，先判断
8、极限类型，“”型可以通分转化为型，对无理式问题的处理，一般先将其有理化。原式= =。14、已知由方程确定，求。解析：隐函数的导数是常考的一个内容，它的本质实际上是复合函数的导数问题。一般隐函数很难甚至不可能显化。其求导方法是方程（等式）两边对求导数，将看成的函数（中间变量）。将代入，得到。方程两端对求导，得，。15、求不定积分。解析：该题使用第二类换元法，作三角代换令，原式=16、设，求。解析：该题考查定积分的换元法与分段函数的积分。原式 17、设区域为圆周与轴在第一象限所围部分，求。解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。首先要画
9、出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。一般当被积函数形如，区域形状为圆形、圆环、扇形（环）等，往往使用极坐标计算。将圆周化为极坐标方程原式。18、已知函数，其中具有二阶连续偏导数，求。解析：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握，理清函数的复合关系。解析：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。第一步：变量的关系网络图其中1，2分别表示第二步：寻找与对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加” 19、将函数展开为的幂级数，并指出收敛区间。解析：具体方法前面已经详细论述，这里不再赘述。 。20、求经过点，且垂直于直线，又与平面平行的直线方程。解析：求直
10、线方程，基本方法是使用对称式。求出直线上的一个定点和方向向量。解：设所求直线的方向向量为，则，所以取。故所求直线方程为。四、综合题（每小题10分，共20分）21、设曲线,（1）求该曲线过原点的切线；（2）求由上述切线与曲线及轴所围平面图形的面积；（3）求（2）中平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。解析：本题考查导数的几何意义，定积分的几何应用，应重点掌握。(1)设切点为，由题意及导数几何意义，应有，即，于是切点为，切线的方程为； （2）于是所求面积为； （3）所求旋转体体积为。22、设函数可导，且满足方程，求。解析：积分变上限函数的求导问题经常考查，注意弄清对那个变量求导，特别是被积函数中既含有又含有的情形。这种问题一般总是先求导再说。，.又，即，故。五、证明题（每小题9分，共18分）23、设上连续，求证：，并利用上述结果计算积分。解析：有关定积分的抽象恒等式的证明，一般采用换元法，难点是如何做出代换，优先考虑函数结构形式的对应，兼顾积分的上下限。=故。24、设函数在上二阶可导，且，。证明：（1）任意，；（2）存在，使得。 解析：（1）若存在，使得，由罗尔定理，存在，使得，再使用罗尔定理，存在，使得，矛盾，所以对任意的，有。 （2）令，因为，所以由罗尔定理，存在，使得，而，故，注意到，于是。 15
