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1、附录四 等周问题 在平面上周长相等的所有简单闭曲线中， 怎样的曲线所围图形的面积最大？ 这就是著名的“等周问题” 。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该 是圆周。但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下： 定理定理 平面上具有定长的所有简单闭曲线中， 圆周所围的面积最大。 换言之， 若L是平面上简单闭曲线C的长度，A是曲线C所围图形的面积，则 4 2 L A ， 且等号成立时，C必须是圆周。 注注 4 2 L 就是周长为L的圆所围的面积。 在数学分析课程中，我们学习了关于 Fourier 级数的有关性质，这就使我们 能够在课程中解答这一数学上的著名问题。 现在我们仅限于对平面
2、上分段光滑的 简单闭曲线讨论问题。以下的证明是 Hurwitz 在 1902 年给出的。 引理 （引理 （Wirtinger） 设在f x( ),上连续, )()(ff=， 且除了有限个点外可导，但在不可导的点，的单侧导数存在。进一步 假设，的导数在 0)(= dxxf )(xf)(xf f x( )(x f ,上可积或平方可积，则 ,)()( 22 dxxfdxxf 等号成立当且仅当xbxaxfsincos)(+=（为常数） 。 ba, 证证 由 Fourier 级数的收敛判别法，的 Fourier 级数在)(xf,上点点收敛 于。由于)(xf0)( 1 0 = dxxfa，所以 =)(xf
3、 = + 1 )sincos( n nn nxbnxa ，,x； 进一步， 64 fx( ) = + 1 )cossin( n nn nxnbnxna。 于是，由 Parseval 等式得到 = dxxf)( 1 2 = + 1 22 )( k kk ba， = dxxf)( 1 2 = + 1 222 )( k kk bak 及 = dxxfdxxf)()( 22 = + 2 222 )(1( k kk bak。 上式说明，并且等号成立当且仅当 （） ，即 0)()( 22 dxxfdxxf0, 0= nn ba ?, 3 , 2=n xbxaxfsincos)( 11 +=。 定理的证明
4、定理的证明 设曲线C以弧长为参数的方程为 )(sxx =，)(syy =， , 0Ls， 且参数 从变到s0L时，点沿逆时针方向画出曲线C。因为是闭曲 线，所以，。作变量代换 )(),(sysxC )()0(Lxx=)()0(Lyy= 22 ts+= LL ，可将该曲线的方 程改写为 )(tx=，)(ty=，,t， 且成立)()(=，)()(=。 不妨假设。若，则闭曲线C0)(= dtt0)(= kdtt ： 2 k xx= = 2 )( k t ，)( tyy= （,t） 65 是C的一个平移， 其所围图形的面积与所围图形的面积相同， 于是考虑CC 即可。 由于 22 L t L s+= ，
5、所以 2 L dt ds =，再由弧长的微分公式得 )()( 4 22 2 2 2 tt dt dsL += =， ,t。 对上式在,上取定积分得 += dttt L )()( 2 22 2 。 其次，C所围图形的面积A可用曲线积分表示 dtttxdyA C = )()(， 因此 .)()()()( )()(2)()(2 2 2 22 22 2 += += dtttdttt dtttttA L 由 于C是 分 段 光 滑 曲 线 ， 所 以)(t满 足 引 理 的 条 件 ， 因 此 ，又显然，所以 0)()( 22 dttt 0)()( 2 dttt 4 2 L A ， 等号成立当且仅当 0)()( 22 = dttt， ， 0)()( 2 = dttt 等价地，就是 66 tbtatsincos)(+=，)()(tt=， ,t， 这时C的参数方程为 += += ,cossin)( ,sincos)( ctbtaty tbtatx ,t， 即C是一个圆周。 证毕 67
