7-5_组合.doc

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1、组合知识框架图7 计数综合7-5 组合7-5-1组合及其应用7-5-2排除法7-5-3插板法教学目标1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等知识要点一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等这种“分

2、组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数记作一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中

3、的个元素进行全排列，共有种排法根据乘法原理，得到因此，组合数这个公式就是组合数公式二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即规定，例题精讲模块一、组合及其应用【例 1】 计算： ，； ，（2级）【解析】 ， ，【小结】注意到上面的结果中，有，【例 2】 计算： ； ； （2级）【解析】 ； ； 【巩固】 计算： ；

4、 ； （2级）【解析】 【例 3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2级）【解析】 这与课前挑战的情景是类似的因为两个人握手是相互的，个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题由组合数公式知，(次)所以一共握手次【巩固】 某班毕业生中有名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？（2级）【解析】 (次)【例 4】 （难度等级 ）学校开设门任意选修课，要求每个学生从中选学门，共有多少种不同的选法？（4级）【解析】 被选中的门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题由组合数公式知，(种)所以共有种不同的选法【

5、例 5】 某校举行排球单循环赛，有个队参加问：共需要进行多少场比赛？（2级）【解析】 因为比赛是单循环制的，所以，个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关所以，这是一个在个队中取个队的组合问题由组合数公式知，共需进行(场)比赛【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有个队参加问：共需要进行多少场比赛？（2级）【解析】 由组合数公式知，共需进行(场)比赛【例 6】 一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？（4级）【解析】 从若干人中选出人比赛，与选出的先后顺序无关，这是

6、一个组合问题依题意，假设有个人参加循环赛，应该有，所以，所以，即一共有人参加循环赛【例 7】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4级）【解析】 第一阶段中，每个小组内部的个人每人要赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第二阶段中，每个小组内部人中每人赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第三阶段赛场根据加法原理，整个赛程一共有场比赛【

7、例 8】 从分别写有、的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问： 有多少个不同的乘积？ 有多少个不同的乘法算式？（6级）【解析】 要考虑有多少个不同乘积由于只要从张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题由组合数公式，共有(个)不同的乘积 要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题由排列数公式，共有(种)不同的乘法算式【巩固】 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？（4级）【解析】 相当于在10

8、个数字选出7个划去，一共有10987654（7654321）=1098（321）=120种【巩固】 从分别写有、的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？（4级）【解析】 (种)【例 9】 在中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？（6级）【解析】 两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题从个偶数中取出个，有(种)取法；从个奇数中取出个，也有(种)取法根据加法原理，一共有(种)不同的取法【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两

9、奇数相加或两偶数相加这样可以把问题简化【巩固】 从、这个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？（6级）【解析】 、中有个奇数，个偶数，从个数中任取个数的方法有：(种)，所以选法总数有：(种)【例 10】 一个盒子装有个编号依次为，的球，从中摸出个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？（6级）【解析】 个编号中奇偶，要使个球的编号之和为奇数，有以下三种情形： 奇偶，这时对奇数只有种选择，对偶数有种选择由乘法原理，有(种)选择； 奇偶，这时对奇数有(种)选择，对偶数也有(种)选择由乘法原理，有(种)选择； 奇偶，这时对奇数有种选择，对偶数只有种选择由乘法原理， 有(种

10、)选择由加法原理，不同的摸法有(种)【例 11】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用个，个，个可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【解析】 先考虑在个数位上选个数位放，这两个的顺序无所谓，故是组合问题，有(种)选法；再从剩下的个数位上选个放，有(种)选法；剩下的个数位放，只有种选法由乘法原理，这样的六位数有(个)在前一问的情况下组成的个六位数中，首位是、的各个如果将全部换成，这个首位是的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数(个)【例 12】 从，中任取三个数字，从，中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？（6级）【解析】 整个过程可以

11、分三步完成：第一步，从，中任取三个数字，这是一个组合问题，有种方法；第二步，从，中任取两个数字，也是一个组合问题，有种方法；第三步，用取出的个数字组成没有重复数字的五位数，有种方法所以总的个数为：（个）【例 13】 从、这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）【解析】 若三位数不含有，有（个），若含有一个，有（个），若含有两个，有（个），所以共有（个）【例 14】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0

12、，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【解析】 先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题有种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有种选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法由乘法原理，这样的六位数有个在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数个【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？（6级）【解析】 这道题由于3有2个，是其中最特殊的，所以从它入手先从四位数的4个数位中选择2个来放3，有种选法；然后剩下的两个数位放1和2，

13、有2种放法；根据乘法原理，共有种不同的方法，所以可以组成12个不重复的四位数【例 15】 工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6级）【解析】 （1）从10件产品中抽出3件，抽法总数为=120（种）（2）3件中恰好一件次品，那么还有两件正常品抽法总数为=56（种）（3）与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品”全都不是次品的抽法总数为=56（种）所以至少有一件次品的抽法总数为120-56=64（种）【例 16】 2

14、00件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？都不是次品；至少有1件次品；不都是次品（6级）【解析】 第题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有195件第题：与顺序无关；至少有1件次品，即有1件次品、2件次品、3件次品、4件次品等四类情况，次品共5件可用直接法解答，也可用间接法解答第题：与顺序无关；不都是次品，即至少有1件是正品都不是次品，即全部为正品共有抽法种至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况共有抽法种（或种）不都是次品，即至少有1件正品共有抽法种（或种）【例 17】 在一个圆周上有个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的： 直线段； 三角形； 四边形（6级）【解析】 由于个点全在圆周上，所以这个点没有三点共线，故只要在个点中取个点，就可以画出一条线段；在个点中取个点，就可以画出一个三角形；在个点中取个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题由组合数公式： 可画出(条)直线段 可画出(个)三角形 可画出(个)四边形【巩固】 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（4级）【解析】 这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从个元素中取出个元素的组合数，由组合数公式，所以以个点中每个点为端点的线