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1、概率论与数理统计复习大纲第一章 随机事件与概率基本概念随机试验E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点w -随机试验E的每一个可能出现的结果样本空间W-随机试验E的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。必然事件-每次试验中必定发生的事件。 不可能事件-每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含AB相等A=B对立事件，也称A的逆事件互斥事件AB=也称不相容事件A，B相互独立 P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互为
2、对立事件等价于（D）A、A，B互不相容 B、A，B相互独立 C、AB D、A，B构成对样本空间的一个剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（ C ）A、A= B、AB C、A与B相互独立 D、A与B互不相容事件之间的运算事件的交AB或AB例1设事件A、B满足A=，由此推导不出 (D)A、AB B、 C、AB=B D、AB=B例2若事件B与A满足 B A=B，则一定有 (B)A、A= B、AB= C、A= D、B=事件的并AB事件的差A-B 注意： A-B = A = A-AB = (AB)-BA1,A2,An构成W的一个完备事件组(或分斥)指A1,A2,An两两互不相容，且Ai=W运算法则交
3、换律AB=BA AB=BA结合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)对偶律 = =文氏图 事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论W样本空间，必然事件全集不可能事件空集w基本事件元素A事件全集中的一个子集A的对立事件A的补集AB事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=B事件A与事件B相等A与B相等AB事件A与事件B至少有一个发生A与B的并集AB事件A与事件B同时发生A与B的交集A-B事件A发生但事件B不发生A与B的差集AB=事件A与事件B互不相容（互斥）A与B没有相同的元素古典概型古典概型的前提是W=w1, w2, w
4、3, wn, n为有限正整数，且每个样本点wi出现的可能性相等。例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。解：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|W|=43=64。(1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C3！=24；则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(CC)，另有一个杯子恰有1个球(CC)，所以|A2|= CCCC=36；则P(A2)=36/64 =9/16 例2从1,2,9，这九个数中任取三个数
5、，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。解：p1=, p2= = P(A)= =几何概型前提是如果在某一区域W任取一点，而所取的点落在W中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。若AW，则P(A)= 例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。解：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y，那么，样本空间，S=(x,y)|0xa,0ya,0a-x-ya。而随机事件A：”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，解得 0x , 0y , x+ya 。即G=(x,y)| 0x , 0y , x+y0) P(A
6、|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)0, P(B)0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)0)全概率公式：P(B)= P(B|Ai)P(Ai) 其中A1,A2,An构成W的一个分斥。贝叶斯公式：P(Ak|B)= = 应用题例1设两两相互独立的三个事件A, B和C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)0，则事件A与B独立 P(B|A)=P(B)2. 事件A与事件B独立事件A与事件独立事件与事件B独立事件与事件独立事件A1,A2,An相互独立-指任意k个事件
7、Ai1,Ai2,Aik满足P(Ai1Ai2Aik)=P( Ai1)P(Ai2)P(Aik)，其中k=2,3,n。可靠性元件的可靠性P(A)=r系统的可靠性： 串联方式 P(A1A2An)=rn并联方式 P(A1A2An)=1-(1-r)n , 贝努里概型指在相同条件下进行n次试验；每次试验的结果有且仅有两种A与；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P()=1-p。二项概率-在n重独立试验中，事件A恰好发生k次的概率为b(k;n,p)，则b(k;n,p)= Cpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)。第二章 随机变量与概率分布随机变量的分布函数分布函数定义：F
8、(x)=Pxx, -x+分布函数(x)实质上表示随机事件Pxx发生的概率。分布函数F(x)的性质 (1)0F(x)1;(2) F(x)=0, F(x)=1(3)单调非减，当x1x2时，F(x1)F(x2)(4)右连续 F(x)=F(x0)一些概率可用分布函数来表示Paxb=F(b)-F(a),Px=a=F(a)-F(a-0), Pxa=1-F(a), Pxa=1-F(a-0), 例1.设随机变量x的分布函数为 F(x)= , 则 Pxp/4 = ( ) (选C，因为Pxp/4 =F(p/4)=sinp/4)A、0 B、1/2 C、/2 D、1例2.设随机变量x1和x2的分布函数分别为F1(x)
9、和F2(x)，为使F(x)=aF1(x) - bF2(x)是某随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取 ( ) A、a=3/5,b=-2/5 B、a=3/5,b=2/5 C、a=3/5,b=-3/5 D、a=2/5,b=2/5(选A，因为F(+)=1= aF1(+) - bF2(+)=a-b )例3.连续型随机变量 x 的分布函数为 F(x) = A + B arctanx, -x求：(1) 常数A,B； (2) x 落入（-1，1）的概率。解：因为F(+)=1, F(-)=0，所以A + Bp/2=1，A - Bp/2=0，解得 A=1/2, B=1/p . 即F(x) = + arctanx .x 落入（-1，1）的概率为P-1x1=F(1)-F(-1) = + arctan1 ( + arctan(-1)= + = 离散型随机变量定义：随机变量只能取有限个或可数个孤立的值离散型随机变量的概率分布简称为分布列： 其中每一个 pi0 且 =1离散型随机变量的分布函数是非降的阶梯函
