《双曲线性质小结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《双曲线性质小结（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、双曲线双曲线 1. 12 2PFPFa= 2.标准方程 22 22 1 xy ab = 3. 1 1 1 PF e d = 4点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角. 5PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8设 P 为双曲线上一点，则PF1F2的内切圆必切于与 P 在同侧的顶点. 9 双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0） 的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0)
2、A a， 与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab +=. 10若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）上，则过 0 P的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab =. 11若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直 线方程是 00 22 1 x xy y ab =. 12AB 是双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）的不平行于对称轴且过原点
3、的弦，M 为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a =. 13若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab =. 14若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab =. 15若 PQ 是双曲线 22 22 1 xy ab =（ba 0）上对中心张直角的弦，则 12 2222 12 1111 (|,|)rOP rOQ rrab +=. 1
4、6若双 曲线 22 22 1 xy ab =（b a 0 ）上中心张直角的弦 L 所 在直线方程为1AxBy+=(0)AB , 则 (1) 22 22 11 AB ab =+;(2) 4242 2222 2 | a Ab B L a Ab B + = . 17 给定双曲线 1 C： 222222 b xa ya b=（ab0） , 2 C： 22 22222 22 () ab b xa yab ab + = ,则(i)对 1 C上任意给定的点 00 (,)P xy, 它的任一直角弦必须经过 2 C上一定点 M 2222 00 2222 (,) abab xy abab + . (ii)对 2
5、C上任一点 00 (,)P xy在 1 C上存在唯一的点 M,使得 M的任一直角弦都经过 P点. 18设 00 (,)P xy为双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）上一点，P1P2为曲线 C 的动弦,且弦 PP1, PP2斜率存在，记为 k1, k 2, 则 直线 P1P2通过定点 00 (,)M mxmy(1)m 的充要条件是 2 12 2 1 1 m b kk m a + = . 19过双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,bo）上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k
6、 a y = （常数）. 20双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 12 FPF=，则双曲线的焦点 角形的面积为 12 2 cot 2 F PF Sb =， 2 222 (cot,cot) 22 ab Pcb cc + . 21 若 P 为双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0） 右 （或左） 支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, 12 PFF=, 21 PF F=， 则tant 22 ca co ca = + （或tant 22 ca co ca = + ）. 22双曲线 22 22 1 xy ab
7、 =（a0,bo）的焦半径公式： 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c 当 00 (,)M xy在右支上时， 10 |MFexa=+, 20 |MFexa=. 当 00 (,)M xy在左支上时， 10 |MFexa= , 20 |MFexa= +. 23若双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e21+时，可在双曲线上求 一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d1与 PF2的比例中项. 24 P 为双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0） 上任一点,F1,F2为二焦点， A 为双曲线左支内一定点， 则
8、 21 | 2|AFaPAPF+, 当且仅当 2 ,A F P三点共线且P在左支时，等号成立. 25 双 曲 线 22 22 1 xy ab =（ a 0,b 0 ） 上 存 在 两 点 关 于 直 线l： 0 ()yk xx=对 称 的 充 要 条 件 是 222 2 0 222 () 0 aba xkk ab kb + 且. 26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28P 是双曲线 sec tan xa yb = = （a0，b0
9、）上一点，则点 P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是 2 2 1 1tan e = . 29设 A,B 为双曲线 22 22 xy k ab =（a0,b0，0,1kk）上两点，其直线 AB 与双曲线 22 22 1 xy ab =相交于,P Q,则 APBQ=. 30在双曲线 22 22 1 xy ab =中，定长为 2m（0m ）的弦中点轨迹方程为 () () 22 2222 22 2 22 2222 22 1coshsinh,coth,00 1sinhcoshcoth,00 xyay atbttxt abbx m xybx atbttyt abay += = = += = 时，弦两端点在
10、两支上 ，时，弦两端点在同支上 31 设 S 为双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0） 的通径， 定长线段 L 的两端点 A,B 在双曲线右支上移动， 记|AB|=l， 00 (,)M xy 是 AB 中点，则当lS 时，有 2 0min () 2 al x ce =+ 222 (cab=+, c e a =);当lS， 且 F1、 F2在 L 异侧直线L 和双曲线相离，（3） 2 12 d db上有一点P， 过P分别引其渐近线的平行线， 分别交x轴于,M N， 交y轴于,R Q， O为原点，则： （1） 2 | |OMONa=； （2） 2 | |OQORb=. 90. 过平面
11、上的P点作直线 1: b lyx a =及 2: b lyx a = 的平行线，分别交x轴于,M N，交y轴于,R Q.（1）若 2 | |OMONa=， 则P的 轨 迹 方 程 是 22 22 1(0,0) xy ab ab =.(2) 若 2 | |OQORb=， 则P的 轨 迹 方 程 是 22 22 1(0,0) xy ab ab =. 91. 点P为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于 ,M N，交直线 b yx a = 于,Q R，记 OMQ与ONR的面积为 12 ,S S，则： 12 | 2 ab
12、 SS=. 92. 点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于,M N，交直线 b yx a = 于,Q R，记 OMQ 与ONR的面积为 12 ,S S，已知 12 | 2 ab SS=，则P的轨迹方程是 22 22 1(0,0) xy ab ab =或 22 22 1(0,0) yx ab ba = 双双曲线性质曲线性质 92 条证明条证明 1.双曲线第一定义。 2.由定义即可得双曲线标准方程。 3.双曲线第二定义。 4.设 00 (,)P xy在第一象限，切线 PT（即l）的斜率为 k， 1 PF所在直线 1 l斜率为 1 k， 2 PF所在直线 2 l斜率为 2 k
13、， 1 PF与 PT 的夹角为， 2 PF与 PT 的夹角为。由两直线夹角公式 12 12 tan 1 kk k k = + 得： () () 2 00 22 2222222222 0 0000001 222222 2 001000000000 00 2 00 tan 1 1 yb x bacx xca yb xa yb x ca bb cxkkb b xykka x ya cyb x yc x ya cyc ycyacx a yxc + + = + + + () () 2 00 22 2222222222 0 0000002 222222 2 002000000000 00 2 00 tan
14、 1 1 b xy bacx a yxcb xa yb x ca bb cxkkb b xykka x ya cyb x yc x ya cyc ycyacx a yxc = + + ,0, 2 = 同理可证其它情况。故切线 PT 平分点 P 处的内角。 5.不妨设 P 在第一象限。作 F2关于切线 PT 的对称点 M，由 4 可知 M 在 PF1上，则 112 2FMPFPFa=，垂足 H 为 F2M 的中点，则 OH= 1 2 FM a=，同理可证其它情况。射影 H 的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点。 6. 设 P，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为 12 ,d d，以 PQ 中点到
15、准线的距离为d，以 PQ 为直径的圆的半径为 r， 则 12 22 ddPFFQr dr ee + = = = += ( 2 0 2 1 1210121211,12 e xaeeeee ee + + + 24.易知当 P 在左支时 1 PAPF+有最小值，此时： 122 22PAPFPAPFaAFa+=+。当且仅当 2 ,A F P三点共 线且P在左支时，等号成立.。 25.易知当 k=0 时，只有 x 轴符合要求，但此时 0 x不存在。故0k 。当0k 时，设 A，B 两点关于直线 y=kx+m 对称， 直线 AB 的方程为 1 yxp k = +，易知 1b ka 即 a k b 。 联立 AB 与双曲线方程得：( ) 22222222222 20b kaxa kpxa k pa b k+= 得 () 222222
