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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】5假定某消费者关于某种商品的消费数量与收入M之间的函数关系为M100Q2。求：当收入M6400时的需求的收入点弹性。解：由已知条件M100Q2，可得：于是有：进一步，可得：观察并分析以上计算过程及其结果可发现，当收入函数Ma2（其中a0且为常数）时，则无论收入M为多少，相应的需求的收入点弹性恒等于1/2。6假定需求函数为MPN，其中M表示收入，P表示商品价格，N（N0）为常数。求：需求的价格点弹性和需求的收入点弹性。解：由已知条件MPN可得：由此可见，一般地，对于幂指数需求函数（P）MPN而言，其需求的价格点弹性总等于幂指数的绝对值N。而对于线性需求函数（M）
2、MPN而言，其需求的收入点弹性总是等于1。7假定某商品市场上有100个消费者，其中，60个消费者购买该市场的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为3；另外40个消费者购买该市场的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为6。求：按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是多少？解：令在该市场上被100个消费者购买的商品总量为，相应的市场价格为P。根据题意，该市场的商品被60个消费者购买，且每个消费者的需求的价格弹性都是3，于是，单个消费者i的需求的价格弹性可以写为：即：（1）且：（2）相类似地，再根据题意，该市场的商品被另外40个消费者购买，且每个消费者的需求的价格弹性都是6，于是，单个消费者j的需
3、求的价格弹性也可以写为：即：（3）且：（4）此外，该市场上100个消费者合计的需求的价格弹性可以写为：将（1）式、（2）式代入上式，得：再将（2）式、（4）式代入上式，得：所以，按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是5。8假定某消费者的需求的价格弹性ed1.3，需求的收入弹性eM2.2。求：（1）在其他条件不变的情况下，商品价格下降2对需求数量的影响。（2）在其他条件不变的情况下，消费者收入提高5对需求数量的影响。解：（1）由于，于是将，2%代入，有：；所以在其他条件不变的情况下，价格降低2%使需求增加2.6%。（2）由于，于是有：；因此，其他条件不变收入提高5%时，需求增加11%。9假定
4、在某市场上A、B两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对A厂商的需求曲线为PA200QA，对B厂商的需求曲线为PB3000.5QB；两厂商目前的销售量分别为QA50，QB100。求：（1）A、B两厂商的需求的价格弹性edA和edB各是多少？（2）如果B厂商降价后，使得B厂商的需求量增加为QB160，同时使竞争对手A厂商的需求量减少为QA40。那么，A厂商的需求的交叉价格弹性eAB是多少？（3）如果B厂商追求销售收入最大化，那么，你认为B厂商的降价是一个正确的行为选择吗？解：（1）关于A厂商：由于PA200QA20050150，且A厂商的需求函数可以写成：QA200PA于是，A厂商的需求的
5、价格弹性为：关于B厂商：由于PB3000.5QB3000.5100250，且B厂商的需求函数可以写成：QB6002PB于是，B厂商的需求的价格弹性为：（2）令B厂商降价前后的价格分别为PB和PB，且A厂商相应的需求量分别为A和A，根据题意有：A50A40因此，A厂商的需求的交叉价格弹性为：（3）由（1）可知，B厂商在PB250时的需求的价格弹性为edB5，也就是说，对B厂商的需求是富有弹性的。对于富有弹性的商品而言，厂商的价格和销售收入成反方向的变化，所以，B厂商将商品价格由PB250下降为PB220，将会增加其销售收入。具体地有：降价前，当PB250且QB100时，B厂商的销售收入为：降价后
6、，当PB20，且QB100，B厂商的销售收入为：显然，即B厂商降价增加了它的销售收入，所以，对于B厂商的销售收入最大化的目标而言，它的降价行为是正确的。12.假定某商品销售的总收益函数为TR120Q3Q2。求：当MR30时需求的价格弹性。解答：由已知条件可得MR1206Q30(1)得Q15由式(1)式中的边际收益函数MR1206Q，可得反需求函数P1203Q(2)将Q15代入式(2)，解得P75，并可由式(2)得需求函数Q40。最后，根据需求的价格点弹性公式有ed13.假定某商品的需求的价格弹性为1.6，现售价格为P4。求：该商品的价格下降多少，才能使得销售量增加10%？解答：根据已知条件和需
7、求的价格弹性公式，有ed1.6由上式解得P0.25。也就是说，当该商品的价格下降0.25，即售价为P3.75时，销售量将会增加10%。2.假设某消费者的均衡如图31(即教材中第96页的图322)所示。其中，横轴OR1和纵轴OR2分别表示商品1和商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线图31某消费者的均衡U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的均衡点。已知商品1的价格P12元。(1)求消费者的收入；(2)求商品2的价格P2；(3)写出预算线方程；(4)求预算线的斜率；(5)求E点的MRS12的值。解答：(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知P12元，所以，
8、消费者的收入M2元3060元。(2)图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由(1)已知收入M60元，所以，商品2的价格P23元。(3)由于预算线方程的一般形式为P1R1P2R2M所以，由(1)、(2)可将预算线方程具体写为：2R13R260。(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为R2R120。很清楚，预算线的斜率为。(5)在消费者效用最大化的均衡点E上，有MRS12，即无差异曲线斜率的绝对值即MRS等于预算线斜率的绝对值。因此，MRS12。6假定某消费者的效用函数为UR13/8R25/8，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。分别求该消费者关于商品l和商品2
9、的需求函数。解：建立拉格朗日函数：即令，得：由联立可得：此即为二者的需求函数。7令某消费者的收入为M，两商品的价格为P、P2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为a。求：该消费者的最优商品消费组合。解：据题意，可知预算方程为：，预算线斜率为由于无差异曲线是直线，且斜率为a，所以无差异曲线斜率的绝对值为：。所以，该消费者的最优商品消费组合为：（1）当时，边角解是预算线与横轴的交点，如图3-9（a）所示。这时，由预算方程得：即最优商品组合为（2）当时，边角解是预算线与纵轴的交点，如图3-9（b）所示。这时，由预算方程得：即最优商品组合为（3）当时，无差异曲线与预算线重叠，预算线上各点都是最优
10、商品组合点。（a）（b）（c）图3-9最优商品组合8假定某消费者的效用函数为，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：（1）该消费者的需求函数。（2）该消费者的反需求函数。（3）当q4时的消费者剩余。解：（1）由题意可得，商品的边际效用为：货币的边际效用为：于是，根据消费者均衡条件，有：整理得需求函数为q（2）由需求函数q可得反需求函数为：（3）由反需求函数可得消费者剩余为：将p,q4代人上式，则有消费者剩余：3已知生产函数，假定厂商目前处于短期生产，且K10。（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数；（2）分别计算当劳动的总产
11、量TP、劳动的平均产量AP和劳动的边际产量MPL各自达到极大值时的厂商的劳动投入量；（3）什么时候APLMPL？它的值又是多少？解：（1）将K10代入生产函数中，得：于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：劳动的总产量函数劳动的平均产量函数劳动的边际产量函数（2）令，解得即当劳动的投入量为20时，劳动的总产量TPL达到最大。令，解得（负值舍去）且有所以，当劳动投入量为时，劳动的平均产量APL达到最大。由劳动的边际产量函数可知，0，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。所以边际产量函数递减，因此当劳动投入量时劳动的边际产量MPL达到极大值。（3）当劳动的平均产量APL达到最大时，一定
12、有APLMPL，即，得：此时APLMPL10。12令生产函数f（L，K）01（LK）1/22K3L，其中0i1，i0，1，2，3。（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征？（2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。解：（1）f（L，K）01（LK）1/22K3L则如果该生产函数表现出规模报酬不变，则,这就意味着对于任何常数0都必有，解得。可见，当时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。（2）在规模报酬不变的情况下，生产函数为，这时有：00这表明在规模报酬不变的情况下，该函数相应的边际产量是递减的。13已知某企业的生产函数为L2/3K1/3，劳动的价格w2，资
13、本的价格r1。求：（1）当成本C3000时，企业实现最大产量时的L、K和的均衡值。（2）当产量800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。解：（1）根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件：其中w2，r1于是有：整理得：即：KL再将KL代入约束条件2L1K3000，有：2LL3000解得：LR1000且有：KR1000将LRKR1000代入生产函数，求得最大的产量：R（LR）2/3（KR）1/310002/3+1/31000以上结果表明，在成本为C3000时，厂商以LR1000，KR1000进行生产所达到的最大产量为R1000此外，本题也可以用以下拉格朗日函数法来求解。将拉格朗日函数
14、分别对L、K和求偏导，得极值的一阶条件：由式、式可得：，即KL将KL代入约束条件即式，可得：30002LL0解得LR1000且有KR1000再将LRKR1000代入目标函数即生产函数，得最大产量：R（LR）2/3（KR）1/310002/3+1/31000在此略去关于极大值得二阶条件的讨论。（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件：其中w2，r1于是有：整理得：即：KL再将KL代入约束条件L2/3K1/3800，有：L2/3L1/3800解得LR800且有KR800将LRKR800代人成本方程2L1KC，求得最小成本：CR2LR1KR280018002400本题的计算结果表示：在800时，厂商以LR800，KR800进行生产的最小成本为CR2400。此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。将拉格朗日函数分别对L、K和求偏导
